Hela algebra · 2012-08-17
Vi definierar tre plan $\Pi_1$, $\Pi_2$, $\Pi_3$ som beror av parametern $a$ genom följande ekvationer på normalform: $\Pi_1\colon x+3y+2z=a$, $\Pi_2\colon x+ay+2z=2$, $\Pi_3\colon x+3y+az=2$.
För vilka värden på $a$ saknar de tre planen gemensam punkt?
För vilka värden på $a$ har de tre planen oändligt många gemensamma punkter? Bestäm i förekommande fall skärningsmängden mellan planen på parameterform.
Att undersöka planens skärningsmängd är ekvivalent med att lösa systemet
$$\begin{cases}x+3y+2z=a,\\x+ay+2z=2,\\x+3y+az=2.\end{cases}$$
Fall med icke-entydig lösning kan bara inträffa då determinanten är noll. Här är determinanten $a^2-5a+6$, vars nollställen är $a=2$ och $a=3$.
För $a=3$ blir de två första ekvationerna motstridiga, varför planen saknar gemensam punkt. För $a=2$ är den första och den tredje ekvationen identiska. Då återstår
$$\begin{cases}x+3y+2z=2,\\x+2y+2z=2.\end{cases}$$
Subtraktion ger $y=0$. Sätter vi $z=t$ får vi $x=2-2t$, så skärningen är linjen $(x,y,z)=(2-2t,0,t)$.
Svar: För $a=3$ saknas skärningspunkt. För $a=2$ är skärningen $(x,y,z)=(2-2t,0,t)$.