Uppgift 1
Skissera följande två mängder
(a)
$\{x\in\mathbb{R}\mid (x-1)(x-5)\le 0\}\cap\{x\in\mathbb{R}\mid (x-3)(x-4)>0\}\cap\{x\in\mathbb{R}\mid (x-2)(x-6)\le 0\}$.
(b)
$\{z\in\mathbb{C}\mid \operatorname{Re}((z-1)(\overline{z}+i))=\frac{1}{2}\}$.
Hela algebra · 2012-12-08
Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Den första olikheten definierar intervallet $[1,5]$, den tredje intervallet $[2,6]$, medan den andra definierar unionen $(-\infty,3)\cup(4,\infty)$. Snittet av mängderna är $[2,3)\cup(4,5]$.
b) Eftersom
$$(z-1)(\overline z+i)=z\overline z+zi-\overline z-i,$$
så ger insättningen $z=x+yi$ att
$$(z-1)(\overline z+i)=(x^2+y^2-y-x)+(x+y-1)i.$$
Villkoret $\operatorname{Re}((z-1)(\overline z+i))=\frac12$ ger ekvationen
$$x^2+y^2-y-x=\frac12.$$
Kvadratkomplettering ger
$$(x-\tfrac12)^2-\tfrac14+(y-\tfrac12)^2-\tfrac14=\tfrac12,$$
alltså
$$(x-\tfrac12)^2+(y-\tfrac12)^2=1.$$
Detta är en cirkel med centrum $(\tfrac12,\tfrac12)$ och radie $1$.