Uppgift 1
Skissera följande två mängder
(a)
$\{x\in\mathbb{R}\mid (x-1)(x-5)\le 0\}\cap\{x\in\mathbb{R}\mid (x-3)(x-4)>0\}\cap\{x\in\mathbb{R}\mid (x-2)(x-6)\le 0\}$.
(b)
$\{z\in\mathbb{C}\mid \operatorname{Re}((z-1)(\overline{z}+i))=\frac{1}{2}\}$.
MM2001 · Hela algebra
Tenta 2012-12-08
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
a) Den första olikheten definierar intervallet $[1,5]$, den tredje intervallet $[2,6]$, medan den andra definierar unionen $(-\infty,3)\cup(4,\infty)$. Snittet av mängderna är $[2,3)\cup(4,5]$.
b) Eftersom
$$(z-1)(\overline z+i)=z\overline z+zi-\overline z-i,$$
så ger insättningen $z=x+yi$ att
$$(z-1)(\overline z+i)=(x^2+y^2-y-x)+(x+y-1)i.$$
Villkoret $\operatorname{Re}((z-1)(\overline z+i))=\frac12$ ger ekvationen
$$x^2+y^2-y-x=\frac12.$$
Kvadratkomplettering ger
$$(x-\tfrac12)^2-\tfrac14+(y-\tfrac12)^2-\tfrac14=\tfrac12,$$
alltså
$$(x-\tfrac12)^2+(y-\tfrac12)^2=1.$$
Detta är en cirkel med centrum $(\tfrac12,\tfrac12)$ och radie $1$.
#Uppgift 2
Uppgift 2
Bestäm alla $x\in\mathbb{Z}$, $100<x<200$, sådana att $45x\equiv 8\pmod{13}$. (Ledtråd: Lös en lämplig diofantisk ekvation.)
Visa lösningDölj lösning
Sambandet $45x\equiv8\pmod{13}$ kan skrivas $45x=8+13y$ för något heltal $y$, alltså $45x-13y=8$. Med hjälp av Euklides algoritm finner vi en lösning till $45x-13y=1$, nämligen $x_0=-2$, $y_0=-7$. Därmed är
$$x_1=-2\cdot8=-16,\qquad y_1=-7\cdot8=-56$$
en lösning till $45x-13y=8$. Den allmänna lösningen är
$$x=-16+13k,\qquad y=-56+45k.$$
Vi vill ha $100<x<200$, så
$$100<-16+13k<200,$$
vilket medför
$$\frac{116}{13}<k<\frac{216}{13}.$$
Eftersom $\frac{116}{13}=8+\frac{12}{13}$ och $\frac{216}{13}=16+\frac{8}{13}$, är $9\le k\le16$.
Svar: $x=-16+13k$, där $9\le k\le16$.
#Uppgift 3
Uppgift 3
På hur många olika sätt kan sju olika hattar placeras på två olika hyllor om en hylla kan innehålla som mest fem hattar? (Ordningen mellan hattarna på en hylla är avgörande: samma hattar men i olika ordningar räknas som olika utplaceringar). Ange svaret som ett femsiffrigt tal.
Visa lösningDölj lösning
Kalla den ena hyllan $A$ och den andra $B$. Hyllan $A$ kan innehålla $2$, $3$, $4$ eller $5$ hattar; då innehåller hyllan $B$ respektive $5$, $4$, $3$ eller $2$ hattar. Hattarna på hylla $A$ kan väljas på
$$\binom72,\quad\binom73,\quad\binom74,\quad\binom75$$
sätt. Om $k$ hattar har valts till hylla $A$, där $k=2,3,4,5$, kan de ordnas på $k!$ sätt, medan de övriga $7-k$ hattarna kan ordnas på $(7-k)!$ sätt på hylla $B$. Antalet sätt att placera hattarna är därför
$$\binom72 2!5!+\binom73 3!4!+\binom74 4!3!+\binom75 5!2!=4\cdot7!.$$
En annan lösning är att lägga de sju hattarna i en rad på $7!$ sätt och sedan välja de första $2$, $3$, $4$ eller $5$ hattarna till hylla $A$. Detta ger fyra alternativ för varje rad.
Svar: $4\cdot7!=20160$ olika utplaceringar.
#Uppgift 4
Uppgift 4
Vektorn $\mathbf{u}$ har längd 3, vektorn $\mathbf{v}$ har längd 2, och vektorn $\mathbf{u}-\mathbf{v}$ har längd $\sqrt{7}$.
(a)
Beräkna längden av vektor $\mathbf{u}+\mathbf{v}$.
(b)
Beräkna vinkeln mellan $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$.
Visa lösningDölj lösning
a) Eftersom
$$7=\lVert\mathbf{u}-\mathbf{v}\rVert^2=\lVert\mathbf{u}\rVert^2-2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})+\lVert\mathbf{v}\rVert^2=9-2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})+4,$$
är $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=3$. Då får vi
$$\lVert\mathbf{u}+\mathbf{v}\rVert^2=\lVert\mathbf{u}\rVert^2+2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})+\lVert\mathbf{v}\rVert^2=9+6+4=19.$$
Alltså är $\lVert\mathbf{u}+\mathbf{v}\rVert=\sqrt{19}$.
b) Eftersom $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\lVert\mathbf{u}\rVert\lVert\mathbf{v}\rVert\cos\alpha=6\cos\alpha$, får vi $6\cos\alpha=3$. Därför är
$$\alpha=\arccos\frac36=\frac\pi3.$$
#Uppgift 5
Uppgift 5
Bestäm en ekvation för det plan $\Pi$ som innehåller punkterna $A=(-1,2,3)$ och $B=(2,0,1)$ samt är parallell med linjen $\ell\colon (x,y,z)=(1,0,1)+t(2,-1,-2)$. Bestäm också avståndet mellan $\Pi$ och $\ell$.
Visa lösningDölj lösning
Planet $\Pi$ är parallellt med både vektorn $\overrightarrow{AB}=(3,-2,-2)$ och linjens riktningsvektor $(2,-1,-2)$. Med hjälp av vektorprodukten får vi en normalvektor till planet:
$$\mathbf{n}=(3,-2,-2)\times(2,-1,-2)=(2,2,1).$$
Alltså har planet ekvationen $2x+2y+z+D=0$. Punkten $A$ ligger i planet, och insättning ger $-2+4+3+D=0$. Följaktligen är $D=-5$ och planets ekvation är
$$\Pi:2x+2y+z-5=0.$$
För att beräkna avståndet mellan $l$ och $\Pi$ räcker det att använda punkten $(1,0,1)$ på $l$ i avståndsformeln. Då blir
$$d=\frac{\lvert2+1-5\rvert}{\sqrt{4+4+1}}=\frac23.$$
#Uppgift 6
Uppgift 6
Bestäm matrisen för den linjära avbildningen av rummet in i sig självt som definieras av att punkterna först projiceras vinkelrätt på planet $\Pi\colon x-z=0$ och därefter speglas i $xy$-planet, alltså planet $z=0$.
Visa lösningDölj lösning
Punkten $(x_0,y_0,z_0)$ avbildas på skärningspunkten mellan linjen
$$l:(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(1,0,-1)$$
och planet $\Pi$; linjen är vinkelrät mot planet. Insättning av $(x_0+t,y_0,z_0-t)$ i planets ekvation ger
$$x_0+t-(z_0-t)=0,\qquad t=\frac{-x_0+z_0}{2}.$$
Skärningspunkten är därför
$$(x_0,y_0,z_0)+\frac{-x_0+z_0}{2}(1,0,-1)=\left(\frac{x_0+z_0}{2},y_0,\frac{x_0+z_0}{2}\right).$$
Bilderna av $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ och $(0,0,1)$ blir kolonnerna i projektionsmatrisen:
$$A=\begin{pmatrix}\tfrac12&0&\tfrac12\\0&1&0\\\tfrac12&0&\tfrac12\end{pmatrix}.$$
Speglingen i $xy$-planet ges av
$$B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}.$$
Sammansättningen har därför matrisen
$$BA=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\tfrac12&0&\tfrac12\\0&1&0\\\tfrac12&0&\tfrac12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac12&0&\tfrac12\\0&1&0\\-\tfrac12&0&-\tfrac12\end{pmatrix}.$$