Uppgift 6
Bestäm matrisen för den linjära avbildningen av rummet in i sig självt som definieras av att punkterna först projiceras vinkelrätt på planet $\Pi\colon x-z=0$ och därefter speglas i $xy$-planet, alltså planet $z=0$.
Hela algebra · 2012-12-08
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
Punkten $(x_0,y_0,z_0)$ avbildas på skärningspunkten mellan linjen
$$l:(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)+t(1,0,-1)$$
och planet $\Pi$; linjen är vinkelrät mot planet. Insättning av $(x_0+t,y_0,z_0-t)$ i planets ekvation ger
$$x_0+t-(z_0-t)=0,\qquad t=\frac{-x_0+z_0}{2}.$$
Skärningspunkten är därför
$$(x_0,y_0,z_0)+\frac{-x_0+z_0}{2}(1,0,-1)=\left(\frac{x_0+z_0}{2},y_0,\frac{x_0+z_0}{2}\right).$$
Bilderna av $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ och $(0,0,1)$ blir kolonnerna i projektionsmatrisen:
$$A=\begin{pmatrix}\tfrac12&0&\tfrac12\\0&1&0\\\tfrac12&0&\tfrac12\end{pmatrix}.$$
Speglingen i $xy$-planet ges av
$$B=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}.$$
Sammansättningen har därför matrisen
$$BA=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\tfrac12&0&\tfrac12\\0&1&0\\\tfrac12&0&\tfrac12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\tfrac12&0&\tfrac12\\0&1&0\\-\tfrac12&0&-\tfrac12\end{pmatrix}.$$