Hela algebra · 2012-12-08
På hur många olika sätt kan sju olika hattar placeras på två olika hyllor om en hylla kan innehålla som mest fem hattar? (Ordningen mellan hattarna på en hylla är avgörande: samma hattar men i olika ordningar räknas som olika utplaceringar). Ange svaret som ett femsiffrigt tal.
Kalla den ena hyllan $A$ och den andra $B$. Hyllan $A$ kan innehålla $2$, $3$, $4$ eller $5$ hattar; då innehåller hyllan $B$ respektive $5$, $4$, $3$ eller $2$ hattar. Hattarna på hylla $A$ kan väljas på
$$\binom72,\quad\binom73,\quad\binom74,\quad\binom75$$
sätt. Om $k$ hattar har valts till hylla $A$, där $k=2,3,4,5$, kan de ordnas på $k!$ sätt, medan de övriga $7-k$ hattarna kan ordnas på $(7-k)!$ sätt på hylla $B$. Antalet sätt att placera hattarna är därför
$$\binom72 2!5!+\binom73 3!4!+\binom74 4!3!+\binom75 5!2!=4\cdot7!.$$
En annan lösning är att lägga de sju hattarna i en rad på $7!$ sätt och sedan välja de första $2$, $3$, $4$ eller $5$ hattarna till hylla $A$. Detta ger fyra alternativ för varje rad.
Svar: $4\cdot7!=20160$ olika utplaceringar.