Uppgift 5
Bestäm en ekvation för det plan $\Pi$ som innehåller punkterna $A=(-1,2,3)$ och $B=(2,0,1)$ samt är parallell med linjen $\ell\colon (x,y,z)=(1,0,1)+t(2,-1,-2)$. Bestäm också avståndet mellan $\Pi$ och $\ell$.
Hela algebra · 2012-12-08
Uppgift 5
Visa lösningDölj lösning
Planet $\Pi$ är parallellt med både vektorn $\overrightarrow{AB}=(3,-2,-2)$ och linjens riktningsvektor $(2,-1,-2)$. Med hjälp av vektorprodukten får vi en normalvektor till planet:
$$\mathbf{n}=(3,-2,-2)\times(2,-1,-2)=(2,2,1).$$
Alltså har planet ekvationen $2x+2y+z+D=0$. Punkten $A$ ligger i planet, och insättning ger $-2+4+3+D=0$. Följaktligen är $D=-5$ och planets ekvation är
$$\Pi:2x+2y+z-5=0.$$
För att beräkna avståndet mellan $l$ och $\Pi$ räcker det att använda punkten $(1,0,1)$ på $l$ i avståndsformeln. Då blir
$$d=\frac{\lvert2+1-5\rvert}{\sqrt{4+4+1}}=\frac23.$$