Uppgift 4
Vektorn $\mathbf{u}$ har längd 3, vektorn $\mathbf{v}$ har längd 2, och vektorn $\mathbf{u}-\mathbf{v}$ har längd $\sqrt{7}$.
(a)
Beräkna längden av vektor $\mathbf{u}+\mathbf{v}$.
(b)
Beräkna vinkeln mellan $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$.
Hela algebra · 2012-12-08
Uppgift 4
Visa lösningDölj lösning
a) Eftersom
$$7=\lVert\mathbf{u}-\mathbf{v}\rVert^2=\lVert\mathbf{u}\rVert^2-2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})+\lVert\mathbf{v}\rVert^2=9-2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})+4,$$
är $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=3$. Då får vi
$$\lVert\mathbf{u}+\mathbf{v}\rVert^2=\lVert\mathbf{u}\rVert^2+2(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})+\lVert\mathbf{v}\rVert^2=9+6+4=19.$$
Alltså är $\lVert\mathbf{u}+\mathbf{v}\rVert=\sqrt{19}$.
b) Eftersom $\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\lVert\mathbf{u}\rVert\lVert\mathbf{v}\rVert\cos\alpha=6\cos\alpha$, får vi $6\cos\alpha=3$. Därför är
$$\alpha=\arccos\frac36=\frac\pi3.$$