Hela algebra · 2013-01-11

Uppgift 6

Uppgift 6

(a)

Visa att avbildningen $T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ som definieras av $T(\mathbf{u})=\mathbf{v}\times\mathbf{u}$, där $\mathbf{v}=(-1,2,1)$, är linjär.

(b)

Bestäm matrisen för den linjära avbildningen som definieras av att vektorn $\mathbf{u}$ först avbildas på $T(\mathbf{u})$ och sedan vinkelrätt projiceras på $xy$-planet.

Visa lösningDölj lösning

(a) Avbildningen $T(\mathbf u)=\mathbf v\times\mathbf u$ är linjär genom vektorproduktens linearitet i andra argumentet. (b) Dess matris är $$A=\begin{pmatrix}0&-1&2\\1&0&1\\-2&-1&0\end{pmatrix}.$$ Projektionen på $xy$-planet har matris $B=\operatorname{diag}(1,1,0)$, så $$BA=\begin{pmatrix}0&-1&2\\1&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}.$$