Uppgift 1
Punkten $P$ i planet representerar det komplexa talet $(1+\sqrt{3}i)^{19}$ medan punkten $Q$ representerar talet $(-1+i)^{36}$. Bestäm avståndet $d(P,Q)$ mellan punkterna $P$ och $Q$. (Ledtråd: skriv båda talen på formen $a+ib$.)
MM2001 · Hela algebra
Tenta 2013-01-11
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
Med de Moivres formel fås $(1+\sqrt3i)^{19}=2^{18}(1+\sqrt3i)$ och $(-1+i)^{36}=-2^{18}$. Punkterna är $P=(2^{18},2^{18}\sqrt3)$ och $Q=(-2^{18},0)$, så $$d(P,Q)=2^{18}\sqrt7.$$
#Uppgift 2
Uppgift 2
(a)
Polynomet $p(x)=x^3+ax^2+bx-3$ ger vid division med $x-1$ resttermen 1 och vid division med $x-3$ resttermen 3. Bestäm $a$ och $b$.
(b)
Polynomet $q(x)$ ger vid division med $x-1$ resttermen 2 och vid division med $x-2$ resttermen 1. Bestäm resttermen då $q(x)$ divideras med $(x-1)(x-2)$.
Visa lösningDölj lösning
(a) Restvillkoren ger $a+b=3$ och $9a+3b=-21$, alltså $a=-5$, $b=8$. (b) Resten vid division med $(x-1)(x-2)$ är $ax+b$. Från $a+b=2$ och $2a+b=1$ fås $$r(x)=-x+3.$$
#Uppgift 3
Uppgift 3
En präst behöver välja sex psalmer inför söndagens mässa. Hen har tre psalmböcker, var och en med 25 psalmer (alltså 75 olika psalmer tillsammans). På hur många sätt kan hen välja psalmerna om
(a)
alla psalmer ska väljas från en och samma bok?
(b)
hen önskar välja två från var och en av böckerna?
(c)
hen vill ha minst en psalm från varje bok?
Obs. att ordningen av psalmerna inte har någon betydelse.
Visa lösningDölj lösning
(a) Antalet är $3\binom{25}{6}$. (b) Antalet är $\binom{25}{2}^3$. (c) Fördelningarna $(4,1,1)$, $(3,2,1)$ och $(2,2,2)$ ger $$3\cdot25^2\binom{25}{4}+6\cdot25\binom{25}{3}\binom{25}{2}+\binom{25}{2}^3.$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
Vektorerna $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$, $\mathbf{w}$ har i standardbasen koordinater $\mathbf{u}=(a,4,2)$, $\mathbf{v}=(1,4,a+1)$ och $\mathbf{w}=(a,1,-1)$.
(a)
För vilka värden på konstanten $a$ är dessa vektorer linjärt oberoende?
(b)
Bestäm talet $a$ för vilket vektorerna utgör en bas, där en av vektorerna är parallell med $xy$-planet, dvs. med planet $z=0$. Kalla denna bas för $B$.
(c)
Bestäm koordinaterna i basen $B$ för den vektorn som i standardbasen har koordinater $(8,0,10)$.
Visa lösningDölj lösning
(a) Determinanten är $3a^2-9a+6$, så vektorerna är oberoende när $a\ne1,2$. (b) Villkoret att andra vektorn har tredje koordinat $0$ ger $a=-1$. (c) För basen $B=\{(-1,4,2),(1,4,0),(-1,1,-1)\}$ ger Gausselimination $$[(8,0,10)]_B=(1,1,-8)^T.$$
#Uppgift 5
Uppgift 5
Linjerna $\ell_1\colon (x,y,z)=(1,0,1)+t(2,-1,-2)$ och $\ell_2\colon (x,y,z)=(2,-5,0)+s(-1,2,1)$ skär varandra i punkten $A$ samt skär planet $\Pi\colon -x+2y-z+4=0$ i punkterna $B$ och $C$ respektive. Bestäm arean av triangeln $ABC$.
Visa lösningDölj lösning
Linjerna skär varandra i $A=(-1,1,3)$. Skärningarna med planet är $B=(3,-1,-1)$ och $C=(0,-1,2)$. Då är $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(-6,0,-6)$, så triangelns area är $$\frac12\lVert\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\rVert=3\sqrt2.$$
#Uppgift 6
Uppgift 6
(a)
Visa att avbildningen $T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ som definieras av $T(\mathbf{u})=\mathbf{v}\times\mathbf{u}$, där $\mathbf{v}=(-1,2,1)$, är linjär.
(b)
Bestäm matrisen för den linjära avbildningen som definieras av att vektorn $\mathbf{u}$ först avbildas på $T(\mathbf{u})$ och sedan vinkelrätt projiceras på $xy$-planet.
Visa lösningDölj lösning
(a) Avbildningen $T(\mathbf u)=\mathbf v\times\mathbf u$ är linjär genom vektorproduktens linearitet i andra argumentet. (b) Dess matris är $$A=\begin{pmatrix}0&-1&2\\1&0&1\\-2&-1&0\end{pmatrix}.$$ Projektionen på $xy$-planet har matris $B=\operatorname{diag}(1,1,0)$, så $$BA=\begin{pmatrix}0&-1&2\\1&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}.$$