Hela algebra · 2013-05-04

Uppgift 6

Uppgift 6

Låt $T$ vara den linjära avbildningen i rummet som definieras som speglingen i planet $\Pi\colon 2x-y+z=0$.

(a)

Bestäm matrisen $A_T$ för avbildningen $T$.

(b)

Bestäm $x$ så att vektorerna $\mathbf{u}=(6,0,3x)$ och $T(\mathbf{u})$ är vinkelräta.

Visa lösningDölj lösning

(a) Speglingen i planet med normal $(2,-1,1)$ har matris $$T=\frac13\begin{pmatrix}-1&2&-2\\2&2&1\\-2&1&2\end{pmatrix}.$$ (b) För $\mathbf u=(6,0,3x)$ ger villkoret $T\mathbf u\perp\mathbf u$ ekvationen $x^2-4x-2=0$. Därför är $$x=2\pm\sqrt6.$$