Uppgift 1
Vilken restterm ger talet $30^{65}+46^{111}$ vid division med 13?
MM2001 · Hela algebra
Tenta 2013-05-04
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
Moduloräkning ger $30^{65}\equiv-3\pmod{13}$ och $46^{111}\equiv5\pmod{13}$. Summan är alltså $$30^{65}+46^{111}\equiv2\pmod{13}.$$
#Uppgift 2
Uppgift 2
För vilka reella $x$ gäller olikheten $2x^2+5x-2\le\lvert x+2\rvert$?
Visa lösningDölj lösning
Dela vid $x=-2$. För $x\le-2$ fås $-3\le x\le-2$; för $x>-2$ fås $-2<x\le-1+\sqrt3$. Tillsammans är lösningsmängden $$[-3,-1+\sqrt3].$$
#Uppgift 3
Uppgift 3
Efter tentamen i Algebra/Matematik 1 ville tentanderna bilda en delegation för att gå till en kvällstidning för att klaga på läraren. Delegationen på 4 personer skulle bestå av två som klarat tentamen och två som inte gjorde det, men även så att två var kvinnor och två var män. På hur många olika sätt kan delegationen bildas om det var 50 studenter som tenterade, hälften manliga och hälften kvinnliga, och bara 20 som klarade tentamen: 8 män och 12 kvinnor. (Du behöver inte räkna ut de eventuella binomiala koefficienter.)
(Ledtråd: Tre fall att betrakta.)
Visa lösningDölj lösning
Dela efter hur många av de två kvinnorna som klarade tentamen. Antalet delegationer är $$\binom{12}{2}\binom{17}{2}+12\cdot13\cdot8\cdot17+\binom{13}{2}\binom82.$$
#Uppgift 4
Uppgift 4
Låt
$$ A=\begin{pmatrix}2 & 3\\3 & 5\end{pmatrix} \qquad\text{och}\qquad B=\begin{pmatrix}1 & 1 & 3\\0 & 1 & 2\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}. $$
(a)
Bestäm inverser till $A$ och $B$.
(b)
Med hjälp av dessa inverser lös matrisekvationen (alltså finn matrisen $X$) sådan att
$$ AXB=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}. $$
Visa lösningDölj lösning
(a) $$A^{-1}=\begin{pmatrix}5&-3\\-3&2\end{pmatrix},\qquad B^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1&-1\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ (b) Multiplikation med inverserna ger $$X=A^{-1}\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}B^{-1}=\begin{pmatrix}5&-8&6\\-3&5&-4\end{pmatrix}.$$
#Uppgift 5
Uppgift 5
Bestäm punkten $P$ på linjen $\ell_1\colon (x,y,z)=(2,-1,2)+t(1,-1,0)$ och punkten $Q$ på $\ell_2\colon (x,y,z)=(1,2,3)+s(1,1,-4)$ som ligger närmast varandra. Bestäm avståndet mellan dessa linjer.
Visa lösningDölj lösning
Den gemensamma normalen fås med $P=(2+t,-1-t,2)$ och $Q=(1+s,2+s,3-4s)$. Ortogonalitetsvillkoren ger $t=-2$, $s=1/9$, alltså $P=(0,1,2)$ och $Q=(10,19,23)/9$. Avståndet är $$\lVert Q-P\rVert=\frac53.$$
#Uppgift 6
Uppgift 6
Låt $T$ vara den linjära avbildningen i rummet som definieras som speglingen i planet $\Pi\colon 2x-y+z=0$.
(a)
Bestäm matrisen $A_T$ för avbildningen $T$.
(b)
Bestäm $x$ så att vektorerna $\mathbf{u}=(6,0,3x)$ och $T(\mathbf{u})$ är vinkelräta.
Visa lösningDölj lösning
(a) Speglingen i planet med normal $(2,-1,1)$ har matris $$T=\frac13\begin{pmatrix}-1&2&-2\\2&2&1\\-2&1&2\end{pmatrix}.$$ (b) För $\mathbf u=(6,0,3x)$ ger villkoret $T\mathbf u\perp\mathbf u$ ekvationen $x^2-4x-2=0$. Därför är $$x=2\pm\sqrt6.$$