Hela algebra · 2013-12-07
Visa att likheten
$$ \left(\frac{z(z+1)}{2}\right)^2+(z+1)^3=\left(\frac{(z+1)(z+2)}{2}\right)^2 $$
gäller för alla $z\in\mathbb{C}$.
Visa att likheten
$$ \sum_{i=1}^{n}i^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 $$
gäller för alla positiva heltal $n$ (tips: använd induktion). Beräkna även
$$ 1+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3+10^3+11^3+12^3+13^3+14^3+15^3. $$
(a) Vi bryter ut $(z+1)^2$:
$$\left(\frac{z(z+1)}2\right)^2+(z+1)^3=(z+1)^2\left(\frac{z^2}{4}+z+1\right)=\left(\frac{(z+1)(z+2)}2\right)^2.$$
(b) För $n=1$ gäller formeln. Antag att den gäller för $n$. Då ger del (a) med $z=n$ att
$$\sum_{i=1}^{n+1}i^3=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2+(n+1)^3=\left(\frac{(n+1)(n+2)}2\right)^2.$$
Induktionsprincipen ger alltså formeln för alla positiva heltal $n$. För $n=15$ fås $120^2=14400$.