MM2001 · Hela algebra
Visa att likheten
$$ \left(\frac{z(z+1)}{2}\right)^2+(z+1)^3=\left(\frac{(z+1)(z+2)}{2}\right)^2 $$
gäller för alla $z\in\mathbb{C}$.
Visa att likheten
$$ \sum_{i=1}^{n}i^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 $$
gäller för alla positiva heltal $n$ (tips: använd induktion). Beräkna även
$$ 1+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+7^3+8^3+9^3+10^3+11^3+12^3+13^3+14^3+15^3. $$
(a) Vi bryter ut $(z+1)^2$:
$$\left(\frac{z(z+1)}2\right)^2+(z+1)^3=(z+1)^2\left(\frac{z^2}{4}+z+1\right)=\left(\frac{(z+1)(z+2)}2\right)^2.$$
(b) För $n=1$ gäller formeln. Antag att den gäller för $n$. Då ger del (a) med $z=n$ att
$$\sum_{i=1}^{n+1}i^3=\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2+(n+1)^3=\left(\frac{(n+1)(n+2)}2\right)^2.$$
Induktionsprincipen ger alltså formeln för alla positiva heltal $n$. För $n=15$ fås $120^2=14400$.
Finn alla komplexa lösningar till ekvationen $z^5=-32$. Du får svara på polär form. Rita även upp lösningarnas positioner i det komplexa talplanet och markera de reella lösningarna.
Faktorisera polynomet $z^5+32$ så långt det går i reella faktorer. Svaret skall ej innehålla trigonometriska funktioner. (Ledning: du får använda att $\cos(\pi/5)=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ och att $\cos(3\pi/5)=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$.)
(a) Skriv $z=re^{i\theta}$. Då måste $r^5=32$ och $5\theta=\pi+2k\pi$, så
$$z=2e^{i(2k+1)\pi/5},\qquad k=0,1,2,3,4.$$
Rötterna ligger jämnt fördelade på cirkeln med radie $2$; en av dem är $-2$.
(b) De icke-reella rötterna kommer i konjugerade par. Därför
$$z^5+32=(z+2)(z^2-(1+\sqrt5)z+4)(z^2-(1-\sqrt5)z+4).$$
De båda kvadratiska faktorerna saknar reella rötter.
Låt $p(x)=x^{19}+7x^7+x^2+3$.
Finn resten och kvoten då $p(x)$ delas med $x^2$.
Finn resten då $p(x)$ delas med $x-i$.
Finn resten då $p(x)$ delas med $x^2+1$.
(a) Eftersom $p(x)=x^2(x^{17}+7x^5+1)+3$ är resten $3$ och kvoten $x^{17}+7x^5+1$.
(b) Faktorsatsen ger
$$p(i)=i^{19}+7i^8+i^2+3=-i-7i-1+3=2-8i.$$
(c) Skriv resten som $r(x)=ax+b$. Eftersom $p(-i)=2+8i$ får vi $ai+b=2-8i$ och $-ai+b=2+8i$. Alltså $a=-8$, $b=2$ och $r(x)=-8x+2$.
Låt $\mathbf{e}=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3)$ vara en bas för rummet. Låt $\mathbf{f}_1=(1,1,1)$, $\mathbf{f}_2=(1,0,1)$ och $\mathbf{f}_3=(0,1,1)$ (koordinater i basen $\mathbf{e}$).
Visa att $\mathbf{f}=(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{f}_3)$ är en bas för rummet och bestäm basbytesmatrisen från $\mathbf{f}$ till $\mathbf{e}$. Om $\mathbf{v}$ har koordinaterna $(3,7,2)$ i basen $\mathbf{f}$, vad är dess koordinater i basen $\mathbf{e}$?
Bestäm koordinaterna för $\mathbf{u}=3\mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3+2\mathbf{f}_2$ i basen $\mathbf{f}$.
(a) Med
$$B=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}$$
är $f=eB$. Eftersom $\det B=-1$ är $f$ en bas. Koordinaterna för $v$ i basen $e$ är
$$B\begin{pmatrix}3\\7\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\5\\12\end{pmatrix}.$$
(b) Här är
$$B^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&-1\\0&-1&1\\-1&0&1\end{pmatrix},\qquad B^{-1}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix}.$$
Alltså har $u$ koordinaterna $(4,-1,-2)+2(0,1,0)=(4,1,-2)$ i basen $f$.
Ett Kartesiskt koordinatsystem för rummet är givet. Låt $\ell$ vara linjen med parameterform $(x,y,z)=(1,1,0)+s(1,2,3)$ och låt $\ell'$ vara skärningslinjen mellan planet $x+y+z=1$ och planet $z=0$.
Skriv $\ell'$ på parameterform.
Beräkna avståndet mellan $\ell$ och $\ell'$.
(a) Skärningslinjen mellan planen fås som
$$(x,y,z)=(1-t,t,0)=(1,0,0)+t(-1,1,0),\qquad t\in\mathbb R.$$
(b) Sätt $P_t=(1-t,t,0)$ på denna linje och $Q_s=(1+s,1+2s,3s)$ på den andra. Kortaste förbindelsevektorn $Q_s-P_t$ är ortogonal mot riktningarna $(1,2,3)$ och $(-1,1,0)$. Detta ger
$$-14s+t-2=0,\qquad 2t-s-1=0,$$
alltså $s=-1/9$, $t=4/9$. Då är $Q_s-P_t=(-1/3,-1/3,1/3)$ och avståndet är $1/\sqrt3$.
Ett Kartesiskt koordinatsystem för rummet är givet.
Bestäm matrisen för den linjära avbildning som ges av rotation $\pi/2$ moturs runt $z$-axeln.
Bestäm matrisen för den linjära avbildning som ges av rotation $\pi/2$ moturs runt linjen $\ell$ med riktning $(1,2,0)$. (Möjlig hjälp: Verifiera att $\mathbf{f}=(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{f}_3)$ där $\mathbf{f}_1=(0,0,1)$, $\mathbf{f}_2=\frac{1}{\sqrt{5}}(2,-1,0)$ och $\mathbf{f}_3=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2,0)$ är en positivt orienterad ON-bas. Notera att $\mathbf{f}$ bildar basen i ett nytt koordinatsystem där $z$-axeln följer $\ell$.)
(a) En rotation med $90^\circ$ kring $z$-axeln har matris
$$A=\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
(b) Vektorerna $f_1,f_2,f_3$ bildar en positivt orienterad ON-bas. Basbytesmatrisen från $f$ till standardbasen är
$$B=\begin{pmatrix}0&2/\sqrt5&1/\sqrt5\\0&-1/\sqrt5&2/\sqrt5\\1&0&0\end{pmatrix}.$$
Rotationen kring $(1,2,0)$ får därför matrisen $BAB^{-1}=BAB^T$, alltså
$$\begin{pmatrix}1/5&2/5&2/\sqrt5\\2/5&4/5&-1/\sqrt5\\-2/\sqrt5&1/\sqrt5&0\end{pmatrix}.$$