Hela algebra · 2013-12-07

Uppgift 4

Uppgift 4

Låt $\mathbf{e}=(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3)$ vara en bas för rummet. Låt $\mathbf{f}_1=(1,1,1)$, $\mathbf{f}_2=(1,0,1)$ och $\mathbf{f}_3=(0,1,1)$ (koordinater i basen $\mathbf{e}$).

(a)

Visa att $\mathbf{f}=(\mathbf{f}_1,\mathbf{f}_2,\mathbf{f}_3)$ är en bas för rummet och bestäm basbytesmatrisen från $\mathbf{f}$ till $\mathbf{e}$. Om $\mathbf{v}$ har koordinaterna $(3,7,2)$ i basen $\mathbf{f}$, vad är dess koordinater i basen $\mathbf{e}$?

(b)

Bestäm koordinaterna för $\mathbf{u}=3\mathbf{e}_1+2\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3+2\mathbf{f}_2$ i basen $\mathbf{f}$.

Visa lösningDölj lösning

(a) Med

$$B=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}$$

är $f=eB$. Eftersom $\det B=-1$ är $f$ en bas. Koordinaterna för $v$ i basen $e$ är

$$B\begin{pmatrix}3\\7\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10\\5\\12\end{pmatrix}.$$

(b) Här är

$$B^{-1}=\begin{pmatrix}1&1&-1\\0&-1&1\\-1&0&1\end{pmatrix},\qquad B^{-1}\begin{pmatrix}3\\2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\-1\\-2\end{pmatrix}.$$

Alltså har $u$ koordinaterna $(4,-1,-2)+2(0,1,0)=(4,1,-2)$ i basen $f$.