Hela algebra · 2013-12-07
Ett Kartesiskt koordinatsystem för rummet är givet. Låt $\ell$ vara linjen med parameterform $(x,y,z)=(1,1,0)+s(1,2,3)$ och låt $\ell'$ vara skärningslinjen mellan planet $x+y+z=1$ och planet $z=0$.
Skriv $\ell'$ på parameterform.
Beräkna avståndet mellan $\ell$ och $\ell'$.
(a) Skärningslinjen mellan planen fås som
$$(x,y,z)=(1-t,t,0)=(1,0,0)+t(-1,1,0),\qquad t\in\mathbb R.$$
(b) Sätt $P_t=(1-t,t,0)$ på denna linje och $Q_s=(1+s,1+2s,3s)$ på den andra. Kortaste förbindelsevektorn $Q_s-P_t$ är ortogonal mot riktningarna $(1,2,3)$ och $(-1,1,0)$. Detta ger
$$-14s+t-2=0,\qquad 2t-s-1=0,$$
alltså $s=-1/9$, $t=4/9$. Då är $Q_s-P_t=(-1/3,-1/3,1/3)$ och avståndet är $1/\sqrt3$.