Hela algebra · 2013-12-07

Uppgift 2

Uppgift 2

(a)

Finn alla komplexa lösningar till ekvationen $z^5=-32$. Du får svara på polär form. Rita även upp lösningarnas positioner i det komplexa talplanet och markera de reella lösningarna.

(b)

Faktorisera polynomet $z^5+32$ så långt det går i reella faktorer. Svaret skall ej innehålla trigonometriska funktioner. (Ledning: du får använda att $\cos(\pi/5)=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$ och att $\cos(3\pi/5)=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$.)

Visa lösningDölj lösning

(a) Skriv $z=re^{i\theta}$. Då måste $r^5=32$ och $5\theta=\pi+2k\pi$, så

$$z=2e^{i(2k+1)\pi/5},\qquad k=0,1,2,3,4.$$

Rötterna ligger jämnt fördelade på cirkeln med radie $2$; en av dem är $-2$.

(b) De icke-reella rötterna kommer i konjugerade par. Därför

$$z^5+32=(z+2)(z^2-(1+\sqrt5)z+4)(z^2-(1-\sqrt5)z+4).$$

De båda kvadratiska faktorerna saknar reella rötter.