Hela algebra · 2014-01-18

Uppgift 4

Uppgift 4

Låt $A$, $B$ och $C$ vara punkter i rummet sådana att $\lVert\overrightarrow{AB}\rVert = 2$ och $\lVert\overrightarrow{AC}\rVert = 3$. Låt $\Delta$ vara triangeln med hörn i dessa punkter.

Antag att $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 3$. Beräkna omkrets och area av $\Delta$.
Antag istället att $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = -3$. Beräkna omkrets och area av $\Delta$.

Visa lösningDölj lösning

Vi har $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$. Eftersom $|AB|=2$, $|AC|=\sqrt{13}$ och $2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\pm6$, fås $|CB|=\sqrt7$ respektive $\sqrt{19}$. Omkretsarna är alltså $5+\sqrt7$ och $5+\sqrt{19}$.

Dessutom är $\cos\alpha=1/2$ respektive $-1/2$, medan $\sin\alpha=\sqrt3/2$ i båda fallen. Arean är därför

$$\frac12|AB||AC|\sin\alpha=\frac{3\sqrt3}{2}.$$