MM2001 · Hela algebra
Lista alla primtal $\le 50$.
År 2004 bevisades att det finns godtyckligt långa aritmetiska talföljder som består enbart av primtal. Finn fem primtal som bildar en aritmetisk talföljd. (Tips: det räcker att använda primtal mindre än $50$.) Du kan även få delpoäng om du bara klarar av att hitta en följd av längd $3$ eller $4$.
(a) Ett sammansatt tal mindre än $50$ har en primfaktor högst $\sqrt{50}<8$. Stryk därför de tal som är delbara med $2,3,5$ eller $7$. Primtalen är
$$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47.$$
(b) Exempelvis är $5,11,17,23,29$ en aritmetisk följd av primtal, med differensen $6$.
Rita i $xy$-planet de reella lösningarna till $2\lvert x - 1\rvert + 3y = 7$.
Finn alla heltalslösningar till $2\lvert x - 1\rvert + 3y = 7$.
För $x\ge1$ är ekvationen $2x+3y=9$, och för $x<1$ är den $-2x+3y=5$.
(a) En parametrisering är
$$ (x,y)=(t,3-2t/3),\ t\ge1, \qquad (x,y)=(t,5/3+2t/3),\ t\le1. $$
Grenarna möts i $(1,7/3)$.
(b) I första fallet fås heltalslösningarna $(x,y)=(3k,3-2k)$, $k\ge1$. I andra fallet fås $(x,y)=(2+3k,3+2k)$, $k\le-1$.
Ange en lösning, alternativt förklara varför lösning saknas, till var och en av följande ekvationer:
$x^2 = 2$, $x\in\mathbb{Q}$.
$x^2 = 2$, $x\in\mathbb{C}$.
$x^2 = -2$, $x\in\mathbb{R}$.
$x^2 = -2$, $x\in\mathbb{C}$.
$x^2\equiv 2\pmod 7$, $x\in\mathbb{Z}$.
$X^2 = \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt[3]{3} \end{pmatrix}$ där $X$ är en $2\times 2$-matris med reella poster.
$\mathbf{v}\cdot\mathbf{v} = -2$ där $\mathbf{v}$ är en vektor i rummet.
$\mathbf{v}\times\mathbf{v} = \overrightarrow{PQ}$ där $\mathbf{v}$ är en vektor i rummet och $P\ne Q$ är två olika punkter i rummet.
(a) Ingen reell lösning, eftersom $\sqrt2$ är irrationellt. (b) $x=\pm\sqrt2$. (c) Ingen reell lösning eftersom en kvadrat är icke-negativ. (d) $x=\pm i\sqrt2$. (e) $x\equiv3$ eller $4\pmod7$. (f) Direkt multiplikation visar att den givna matrisen är en lösning. (g) Ingen lösning, eftersom $v\cdot v\ge0$. (h) Ingen lösning: $u\times u=0$, men $P-Q\ne0$.
Låt $A$, $B$ och $C$ vara punkter i rummet sådana att $\lVert\overrightarrow{AB}\rVert = 2$ och $\lVert\overrightarrow{AC}\rVert = 3$. Låt $\Delta$ vara triangeln med hörn i dessa punkter.
Vi har $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$. Eftersom $|AB|=2$, $|AC|=\sqrt{13}$ och $2\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\pm6$, fås $|CB|=\sqrt7$ respektive $\sqrt{19}$. Omkretsarna är alltså $5+\sqrt7$ och $5+\sqrt{19}$.
Dessutom är $\cos\alpha=1/2$ respektive $-1/2$, medan $\sin\alpha=\sqrt3/2$ i båda fallen. Arean är därför
$$\frac12|AB||AC|\sin\alpha=\frac{3\sqrt3}{2}.$$
Det Kartesiska koordinatsystemet för rummet är givet. Betrakta planet $\Pi : x + 2y + 3z = 6$ samt punkterna $O = (0, 0, 0)$ och $P = (1, 1, 1)$.
Finn normalformen för det plan $\Pi'$ som är vinkelrätt mot $\Pi$ och som går genom $O$ och genom $P$.
Bestäm en parameterframställning för skärningslinjen mellan $\Pi$ och $\Pi'$.
(a) Planet genom origo är parallellt med $(1,2,3)$ och $(1,1,1)$, och har därför normal $(1,-2,1)$. Dess ekvation är $x-2y+z=0$.
(b) Tillsammans med $x+2y+3z=6$ fås skärningslinjen
$$(x,y,z)=(3,3/2,0)+t(-2,-1/2,1),\qquad t\in\mathbb R.$$
Låt $\mathbf{u} = (1, 2, 3)$ och $\mathbf{v} = (3, 2, 1)$ vara vektorer givna i en ON-bas för rummet. Låt $\Pi$ vara planet med parameterform $s\mathbf{u} + t\mathbf{v}$. Låt $P_{\Pi}$ vara projektion på $\Pi$.
Bestäm matrisen för $P_{\Pi}$.
Finn $P_{\Pi}(2\mathbf{u} + 3\mathbf{v})$.
Finn $P_{\Pi}(\mathbf{u}\times\mathbf{v})$. (Det går att lösa deluppgift b) och c) även om du inte hittat matrisen från a), men om du gör det måste du motivera ordentligt.)
(a) Planet som spänns av $u,v$ har normal $n=(1,-2,1)$. Ortogonal projektion ges av $P(w)=w-(w\cdot n)n/|n|^2$. Därför är dess matris
$$A=\frac16\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&2&2\\-1&2&5\end{pmatrix}.$$
(b) Eftersom $2u+3v$ ligger i planet är $P(2u+3v)=2u+3v$. (c) Eftersom $u\times v$ är vinkelrät mot planet är $P(u\times v)=0$.