Hela algebra · 2014-01-18

Uppgift 6

Uppgift 6

Låt $\mathbf{u} = (1, 2, 3)$ och $\mathbf{v} = (3, 2, 1)$ vara vektorer givna i en ON-bas för rummet. Låt $\Pi$ vara planet med parameterform $s\mathbf{u} + t\mathbf{v}$. Låt $P_{\Pi}$ vara projektion på $\Pi$.

(a)

Bestäm matrisen för $P_{\Pi}$.

(b)

Finn $P_{\Pi}(2\mathbf{u} + 3\mathbf{v})$.

(c)

Finn $P_{\Pi}(\mathbf{u}\times\mathbf{v})$. (Det går att lösa deluppgift b) och c) även om du inte hittat matrisen från a), men om du gör det måste du motivera ordentligt.)

Visa lösningDölj lösning

(a) Planet som spänns av $u,v$ har normal $n=(1,-2,1)$. Ortogonal projektion ges av $P(w)=w-(w\cdot n)n/|n|^2$. Därför är dess matris

$$A=\frac16\begin{pmatrix}5&2&-1\\2&2&2\\-1&2&5\end{pmatrix}.$$

(b) Eftersom $2u+3v$ ligger i planet är $P(2u+3v)=2u+3v$. (c) Eftersom $u\times v$ är vinkelrät mot planet är $P(u\times v)=0$.