Hela algebra · 2014-12-11

Uppgift 6

Uppgift 6

Projektion på en given vektor $\mathbf{n}$ ger en linjär avbildning $P(\mathbf{v}) = \mathbf{v}_{\mathbf{n}}$ från rummet till rummet. Bestäm matrisen för denna avbildning när $\mathbf{n} = (1, 7, 3)$. Bestäm sedan matrisen för $P\circ P$ samt beräkna $P(\mathbf{n})$ och $P(3, 8, 1)$.

Visa lösningDölj lösning

Projektionen på $n=(1,7,3)$ är $P(v)=(v\cdot n)n/59$. Därmed

$$[P]=\frac1{59}\begin{pmatrix}1&7&3\\7&49&21\\3&21&9\end{pmatrix}.$$

Eftersom bilden ligger i $\operatorname{span}(n)$ är $P^2=P$. Vidare är $P(n)=n$ och $P(3,8,1)=\frac{62}{59}n$.