Uppgift 1
Förkorta så långt som möjligt bråket $\frac{2873}{4199}$.
MM2001 · Hela algebra
Tenta 2014-12-11
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
Euklides algoritm ger $4199=2873+1326$, $2873=2\cdot1326+221$ och $1326=6\cdot221$. Alltså är $\gcd(4199,2873)=221$, och
$$\frac{2873}{4199}=\frac{13}{19}.$$
#Uppgift 2
Uppgift 2
Rita grafen till $y = \lvert\lvert x\rvert - 1\rvert + \lvert x + 2\rvert$. Finn även alla $x\in\mathbb{R}$ sådana att $\lvert\lvert x\rvert - 1\rvert + \lvert x + 2\rvert = 3$.
Visa lösningDölj lösning
Genom att behandla brytpunkterna $-2,-1,0,1$ fås
$$f(x)=\begin{cases}-2x-3&x<-2,\\1&-2\le x<-1,\\2x+3&-1\le x<0,\\3&0\le x<1,\\2x+1&x\ge1.\end{cases}$$
Alltså är lösningarna till $f(x)=3$ $x=-3$ samt $0\le x\le1$.
#Uppgift 3
Uppgift 3
På tentan i Algebra, problemlösning (7,5 hp) på Matematik I för HT-13 deltog 190 skrivande. Av dessa hade 161 klarat alla tre e-tentor; 107 hade gjort problemsamling 4-6 och hade full bonus; och 75 blev godkända (betyg E eller högre). Av dem med tre avklarade e-tentor blev 74 godkända; av dem med full bonus blev 63 godkända; och 99 personer hade både gjort tre e-tentor samt hade full bonus. Av dem som inte uppnått full bonus samt dessutom saknade minst en e-tenta blev 21 underkända. Hur många av dem med full bonus och tre avklarade e-tentor blev godkända på algebratentan?
Visa lösningDölj lösning
Inklusions--exklusionsprincipen ger
$$190-21=161+107+75-99-74-63+|E\cap B\cap G|.$$
Därmed är $|E\cap B\cap G|=62$.
#Uppgift 4
Uppgift 4
Finn en ortogonal bas $(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2)$ för planet $\Pi : x + 3y + 2z = 0$. (Med andra ord, finn två ortogonala vektorer $\mathbf{w}_1$ och $\mathbf{w}_2$ som bägge är parallella med $\Pi$.) Finn sedan en tredje vektor $\mathbf{w}_3$ sådan att $(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \mathbf{w}_3)$ bildar en ortogonal bas för rummet.
Visa lösningDölj lösning
Två ortogonala riktningsvektorer i planet är $w_1=(3,-1,0)$ och $w_2=(1,3,-5)$. En normalvektor är $w_3=(1,3,2)$. Dessa tre vektorer är parvis ortogonala och kan användas som en ortogonal bas.
#Uppgift 5
Uppgift 5
Bestäm avståndet från planet $\Pi : 2x + 3y + z = 2$ till linjen $\ell : (1, 0, 1) + t(1, -1, 1)$, $t\in\mathbb{R}$.
Visa lösningDölj lösning
Linjens riktning $v=(1,-1,1)$ uppfyller $v\cdot n=2-3+1=0$, där $n=(2,3,1)$ är planets normal. Linjen är alltså parallell med planet. Från punkten $(1,0,1)$ blir avståndet
$$\frac{|2\cdot1+3\cdot0+1-2|}{\sqrt{2^2+3^2+1^2}}=\frac1{\sqrt{14}}.$$
#Uppgift 6
Uppgift 6
Projektion på en given vektor $\mathbf{n}$ ger en linjär avbildning $P(\mathbf{v}) = \mathbf{v}_{\mathbf{n}}$ från rummet till rummet. Bestäm matrisen för denna avbildning när $\mathbf{n} = (1, 7, 3)$. Bestäm sedan matrisen för $P\circ P$ samt beräkna $P(\mathbf{n})$ och $P(3, 8, 1)$.
Visa lösningDölj lösning
Projektionen på $n=(1,7,3)$ är $P(v)=(v\cdot n)n/59$. Därmed
$$[P]=\frac1{59}\begin{pmatrix}1&7&3\\7&49&21\\3&21&9\end{pmatrix}.$$
Eftersom bilden ligger i $\operatorname{span}(n)$ är $P^2=P$. Vidare är $P(n)=n$ och $P(3,8,1)=\frac{62}{59}n$.