Uppgift 6
Låt $S$ vara spegling i planet $x - 3y + 2z = 0$. Finn matrisen för $S$. Beräkna sedan speglingen av planets normalvektor $(1, -3, 2)$ samt speglingen av vektorn $(3, 8, 1)$. Visa slutligen att $S$ är inverterbar och finn $S^{-1}$.
Hela algebra · 2015-01-16
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
Med $n=(1,-3,2)$ och $|n|^2=14$ ges speglingen av $v$ av $v-2(v\cdot n)n/14$. Därför är dess matris
$$\frac17\begin{pmatrix}6&3&-2\\3&-2&6\\-2&6&3\end{pmatrix}.$$
Den skickar $n$ på $-n$, skickar $(3,8,1)$ på $(40,-1,45)/7$, och uppfyller $S^2=I$, alltså $S^{-1}=S$.