Uppgift 1
Bestäm alla $x > 0$ sådana att $(\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt{x})^{\sqrt{x}\cdot x} = (\sqrt{x}\cdot x)^{\sqrt[3]{x}\cdot\sqrt{x}}$.
MM2001 · Hela algebra
Tenta 2015-01-16
#Uppgift 1
Visa lösningDölj lösning
Ekvationen är $x^{5/(6x)}=x^{3/(2x)}$. För $x=1$ gäller den. För $x\ne1$ ger logaritmering $5/(6x)=3/(2x)$ efter exponentjämförelse, vilket reduceras till $x^{2/3}=9/5$. Alltså
$$x=1\quad\text{eller}\quad x=\frac{27}{5\sqrt5}.$$
#Uppgift 2
Uppgift 2
Låt $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Beräkna $A^2$, $A^3$ och $A^4$ och använd detta för att gissa en formel för $A^n$, där $n$ är ett godtyckligt positivt heltal. Bevisa sedan med hjälp av induktion att din gissning är korrekt.
Visa lösningDölj lösning
Direkt beräkning ger $A^2=\begin{pmatrix}1&6\\0&1\end{pmatrix}$ och $A^3=\begin{pmatrix}1&9\\0&1\end{pmatrix}$. Induktion ger
$$A^n=\begin{pmatrix}1&3n\\0&1\end{pmatrix}\qquad(n\ge1).$$
#Uppgift 3
Uppgift 3
På en papperslapp står ordet OPERATOR. Man klipper upp lappen så att man får åtta pappersbitar med en bokstav på varje. Hur många ”ord” bestående av tre bokstäver kan man bilda genom att lägga ut dessa pappersbitar på rad?
Visa lösningDölj lösning
I ordet OPERATOR förekommer $O$ och $R$ två gånger. Ord med två $R$ kan väljas på $3\cdot5=15$ sätt, och lika många med två $O$. Ord med högst ett av vardera kan väljas på $6\cdot5\cdot4=120$ sätt. Totalt blir antalet $15+15+120=150$.
#Uppgift 4
Uppgift 4
Låt $ABCD$ vara en parallellogram. Låt $E$ vara mittpunkten på sträckan $BC$. Punkten $F$ ligger på sträckan $AD$ och $\lvert DF\rvert = 4\lvert AF\rvert$. $G$ är skärningspunkten mellan sträckorna $AE$ och $BF$.
(a)
Uttryck vektorn $\overrightarrow{AG}$ som en linjärkombination av vektorerna $\mathbf{u} = \overrightarrow{AB}$ och $\mathbf{v} = \overrightarrow{AD}$.
(b)
Visa att arean av triangeln $AFG$ alltid utgör samma bråkdel av parallellogrammen $ABCD$, samt bestäm denna bråkdel.
Visa lösningDölj lösning
Jämförelse av koefficienterna i $\overrightarrow{AG}=\lambda(u+v/2)$ och $\overrightarrow{FG}=\mu(u-v/5)$ ger $\lambda=\mu=2/7$. Alltså
$$\overrightarrow{AG}=\frac27u+\frac17v,$$
och den efterfrågade areabråkdelen är $\frac12\left|\det\begin{pmatrix}2/7&1/5\\1/7&0\end{pmatrix}\right|=1/35$.
#Uppgift 5
Uppgift 5
Från punkten $P = (2, -3, 1)$ dras normalerna till de båda planen $\Pi_1$ och $\Pi_2$, som har ekvationerna $x - y + 5z = 7$ och $y - 2z = 5$. Ett plan $\Pi_3$ innehåller de båda normalerna. Bestäm skärningspunkten mellan $\Pi_1$, $\Pi_2$ och $\Pi_3$.
Visa lösningDölj lösning
En normal till $\Pi_3$ är $(1,-1,5)\times(0,1,-2)=(-3,2,1)$. Eftersom planet innehåller $(2,3,-1)$ blir ekvationen $-3x+2y+z+11=0$. Gausselimination av de tre planens ekvationer ger skärningspunkten
$$\frac1{14}(123,100,15).$$
#Uppgift 6
Uppgift 6
Låt $S$ vara spegling i planet $x - 3y + 2z = 0$. Finn matrisen för $S$. Beräkna sedan speglingen av planets normalvektor $(1, -3, 2)$ samt speglingen av vektorn $(3, 8, 1)$. Visa slutligen att $S$ är inverterbar och finn $S^{-1}$.
Visa lösningDölj lösning
Med $n=(1,-3,2)$ och $|n|^2=14$ ges speglingen av $v$ av $v-2(v\cdot n)n/14$. Därför är dess matris
$$\frac17\begin{pmatrix}6&3&-2\\3&-2&6\\-2&6&3\end{pmatrix}.$$
Den skickar $n$ på $-n$, skickar $(3,8,1)$ på $(40,-1,45)/7$, och uppfyller $S^2=I$, alltså $S^{-1}=S$.