Hela algebra · 2015-05-09

Uppgift 1

Uppgift 1

Finn alla rötter till polynomet $p(z) = z^5 - 32i$. Du får svara på polär form, men ange speciellt om det finns någon rot som är reell eller någon som är rent imaginär (alltså vars realdel är $0$). Markera även rötterna i det komplexa talplanet. Beräkna slutligen summan av alla rötter samt produkten av alla rötter.

Visa lösningDölj lösning

Skriv $z=re^{i\theta}$. Då ger $z^5=32i$ att $r=2$ och $\theta=\pi/10+2k\pi/5$. Rötterna är $2e^{i\pi/10},2i,2e^{9i\pi/10},2e^{13i\pi/10},2e^{17i\pi/10}$. Deras summa är $0$ och deras produkt är $32i$.