MM2001 · Hela algebra
Finn alla rötter till polynomet $p(z) = z^5 - 32i$. Du får svara på polär form, men ange speciellt om det finns någon rot som är reell eller någon som är rent imaginär (alltså vars realdel är $0$). Markera även rötterna i det komplexa talplanet. Beräkna slutligen summan av alla rötter samt produkten av alla rötter.
Skriv $z=re^{i\theta}$. Då ger $z^5=32i$ att $r=2$ och $\theta=\pi/10+2k\pi/5$. Rötterna är $2e^{i\pi/10},2i,2e^{9i\pi/10},2e^{13i\pi/10},2e^{17i\pi/10}$. Deras summa är $0$ och deras produkt är $32i$.
1600-tals matematikern Fermat trodde att alla tal på formen $2^{2^n} + 1$ är primtal. Visa att Fermat hade fel genom att bevisa att $2^{32} + 1$ är delbart med $641$.
Modulo $641$ fås $2^{15}\equiv77$, och därmed $2^{30}\equiv77^2\equiv160$. Alltså $2^{32}\equiv640\equiv-1\pmod{641}$, så $641\mid2^{32}+1$.
Avgör vilka av följande påståenden som är sanna och vilka som är falska:
Nedan är $M$ mängden av alla $2\times 2$-matriser:
(Du måste som vanligt motivera dina svar, antingen med bevis eller motexempel.)
$\forall x\in\mathbb R\,\exists y\in\mathbb R:x^2=y$ är sant, medan $\exists y\,\forall x:y=x^2$ är falskt. Påståendet $\forall x\,\exists y:x=y^2$ är falskt, exempelvis för $x=-1$. För matriser är kommutativitet för alla par falsk, men $AB=BA$ har alltid lösningen $B=I$ (eller $B=A$).
Låt $ABC$ vara en liksidig triangel i planet med hörn $A = (0, 0)$, $B = (1, 0)$ och $C = (1/2, \sqrt{3}/2)$, där koordinaterna är angivna i ett Kartesiskt koordinatsystem med bas $\mathbf{e} = (\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2)$. Låt $\mathbf{t}_1 = \overrightarrow{AB}$ och $\mathbf{t}_2 = \overrightarrow{AC}$. Visa att $\mathbf{t} = (\mathbf{t}_1, \mathbf{t}_2)$ utgör en bas för vektorer i planet samt avgör vilken orientering denna bas har. Bestäm sedan basbytesmatrisen från $\mathbf{e}$ till $\mathbf{t}$. Bestäm slutligen koordinaterna för $(1, 1) = \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2$ i basen $\mathbf{t}$ samt bestäm koordinaterna för $\overrightarrow{BC}$ i basen $\mathbf{e}$.
Basbytesmatrisen från $t$ till standardbasen är $A=\begin{pmatrix}1&1/2\\0&\sqrt3/2\end{pmatrix}$. Därmed fås koordinaterna för $(1,1)$ genom $A^{-1}(1,1)^T$, och vektorn med $t$-koordinaterna $(-1,1)$ är $A(-1,1)^T=(-1/2,\sqrt3/2)^T$.
Bestäm den linje $\ell$ som går genom punkten $P = (3, 2, 1)$ och är ortogonal mot planet $\Pi : (-1 - 2t + 3s, -2 + 3t, -3t - s)$, $s, t\in\mathbb{R}$. Bestäm sedan skärningspunkten mellan $\ell$ och $\Pi$ samt beräkna avståndet mellan $P$ och $\Pi$.
Planet har normal $(-2,3,-3)\times(3,0,-1)=(3,11,9)$ och ekvation $3x+11y+9z+25=0$. Skärningen med normalen genom $P$ fås för $t=-65/211$, och avståndet blir
$$\frac{65}{\sqrt{211}}.$$
Definiera den linjära avbildningen $F$ av rummet genom att sätta $F(\mathbf{v}) = \mathbf{v} + (\mathbf{v}\times\mathbf{a})$ för alla vektorer $\mathbf{v}$, där $\mathbf{a} = (1, 1, 1)$. Bestäm matrisen för $F$. Motivera också att det för varje given vektor $\mathbf{u}$ finns en entydigt bestämd vektor $\mathbf{v}$ sådan att $\mathbf{u} = \mathbf{v} + (\mathbf{v}\times\mathbf{a})$ samt bestäm denna vektor $\mathbf{v}$ om $\mathbf{u} = (1, 2, 3)$.
Avbildningens matris är $A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&1&1\\1&-1&1\end{pmatrix}$, med determinant $4$. Den är alltså inverterbar och
$$A^{-1}=\frac12\begin{pmatrix}1&0&1\\1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}.$$
För $u=(1,2,3)$ blir därför $v=A^{-1}u=(2,3/2,5/2)$.