Hela algebra · 2015-05-09

Uppgift 3

Hela tentan

Karl Rökaeus Matriser Bevis

Uppgift 3

Avgör vilka av följande påståenden som är sanna och vilka som är falska:

$\forall x\in\mathbb{R}\;\exists y\in\mathbb{R}: x^2 = y$.
$\exists y\in\mathbb{R}\;\forall x\in\mathbb{R}: y = x^2$.
$\forall x\in\mathbb{R}\;\exists y\in\mathbb{R}: x = y^2$.

Nedan är $M$ mängden av alla $2\times 2$-matriser:

$\forall A\in M\;\forall B\in M: AB = BA$.
$\forall A\in M\;\exists B\in M: AB = BA$.

(Du måste som vanligt motivera dina svar, antingen med bevis eller motexempel.)

Visa lösningDölj lösning

$\forall x\in\mathbb R\,\exists y\in\mathbb R:x^2=y$ är sant, medan $\exists y\,\forall x:y=x^2$ är falskt. Påståendet $\forall x\,\exists y:x=y^2$ är falskt, exempelvis för $x=-1$. För matriser är kommutativitet för alla par falsk, men $AB=BA$ har alltid lösningen $B=I$ (eller $B=A$).