Hela algebra · 2016-01-15
Betrakta de fyra punkterna
$$A = (1, 2, 3), \quad B = (7, 1, 3), \quad C = (4, 3, 1) \quad \text{och} \quad D = (-2, 4, 1).$$
Visa, att fyrhörningen $ABCD$ är en parallellogram.
Beräkna dess area.
Bestäm ekvationen för planet den ligger i.
(a) Sidorna är lika långa och parallella, ty $\overrightarrow{AB}=(6,-1,0)=\overrightarrow{DC}$ och $\overrightarrow{BC}=(-3,2,-2)=\overrightarrow{AD}$. (b) Arean är $$|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}|=|(6,-1,0)\times(-3,2,-2)|=|(2,12,9)|=\sqrt{229}.$$ (c) En normalvektor till planet är $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=(2,12,9)$, så planets ekvation är på formen $2x+12y+9z=k$. Konstanten bestäms genom substitution av punkten $A$: $$k=2\cdot1+12\cdot2+9\cdot3=53.$$ Planets ekvation är $$2x+12y+9z=53.$$