MM2001 · Hela algebra
På hur många sätt kan en mängd av fyra olika bokstäver väljas ur svenska alfabetet (med $29$ bokstäver)?
Hur många olika ord kan bildas med fyra bokstäver, ej nödvändigtvis olika, ur svenska alfabetet?
Hur många olika ord kan bildas med fyra bokstäver, där första bokstaven är ett X och andra bokstaven inte är ett Y?
(a) Detta är ett oordnat urval, och det finns $$\binom{29}{4}=\frac{29\cdot28\cdot27\cdot26}{1\cdot2\cdot3\cdot4}=23\,751$$ möjligheter. (b) Enligt Multiplikationsprincipen finns det $$29^4=707\,281$$ olika ord. (c) Andra bokstaven kan väljas på 28 sätt och den tredje och fjärde på 29 sätt vardera, varför svaret enligt Multiplikationsprincipen är $$28\cdot29^2=23\,548.$$
Betrakta de fyra punkterna
$$A = (1, 2, 3), \quad B = (7, 1, 3), \quad C = (4, 3, 1) \quad \text{och} \quad D = (-2, 4, 1).$$
Visa, att fyrhörningen $ABCD$ är en parallellogram.
Beräkna dess area.
Bestäm ekvationen för planet den ligger i.
(a) Sidorna är lika långa och parallella, ty $\overrightarrow{AB}=(6,-1,0)=\overrightarrow{DC}$ och $\overrightarrow{BC}=(-3,2,-2)=\overrightarrow{AD}$. (b) Arean är $$|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}|=|(6,-1,0)\times(-3,2,-2)|=|(2,12,9)|=\sqrt{229}.$$ (c) En normalvektor till planet är $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=(2,12,9)$, så planets ekvation är på formen $2x+12y+9z=k$. Konstanten bestäms genom substitution av punkten $A$: $$k=2\cdot1+12\cdot2+9\cdot3=53.$$ Planets ekvation är $$2x+12y+9z=53.$$
Rymdrebellerna Lukas Molnpromenerare och Hans Ensamvarg färdas med sina rymdskepp längs linjerna
$$(x, y, z) = (1, 1, 0) + t(1, 2, 1) \qquad \text{respektive} \qquad (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(-1, -4, 1),$$
där $t$ betyder tiden.
Avgör, huruvida deras banor är sammanfallande, parallella, skeva eller skärande. Om de skär varandra, skall skärningspunkten anges.
I origo befinner sig Rymdimperiets ondskefulle kejsare Pampatine med sin kraftfulla dator Dödshjärnan. Han önskar förinta Lukas Molnpromenerare, då denne befinner sig som närmast origo på sin bana. Därför programmerar han Dödshjärnan att beräkna vid vilken tidpunkt detta inträffar, vilken den närmaste punkten är samt avståndet till denna punkt. Hjälp kejsar Pampatine att besvara dessa frågor.
(a) Ekvationssystemet $$\begin{cases}1+s=1-t,\\1+2s=-4t,\\s=1+t\end{cases}$$ har den entydiga lösningen $s=\frac12$, $t=-\frac12$. Linjerna skär varandra därför i punkten $\left(\frac32,2,\frac12\right)$. (b) Vektorn $u=(1,1,0)$ går från origo till punkten $(1,1,0)$ på Lukas Molnpromenerares bana. Projektionen på linjens riktningsvektor är $$u'=\frac{(1,1,0)\cdot(1,2,1)}{|(1,2,1)|^2}(1,2,1)=\frac12(1,2,1).$$ Projektionen av $u$ på en vektor vinkelrät mot linjen är därför $$u-u'=\left(\frac12,0,-\frac12\right).$$ Punkten $\left(\frac12,0,-\frac12\right)$ på banan ligger närmast origo. Han passerar denna punkt vid tiden $t=-\frac12$. Avståndet från origo till denna punkt är $\frac1{\sqrt2}$. Alternativ lösning. Avståndet från en godtycklig punkt $(1+t,1+2t,t)$ på banan till origo är $$\sqrt{6\left(t+\frac12\right)^2+\frac12},$$ vilket antar sitt minsta värde $\frac1{\sqrt2}$ då $t=-\frac12$.
Låt $T$ vara den linjära avbildning, som i standardbasen har matrisen
$$A = \frac{1}{6}\begin{pmatrix}5 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 5\end{pmatrix}.$$
Inför en ny bas enligt
$$\mathbf{e}'_1 = \frac{1}{\sqrt{6}}(\mathbf{e}_1 - 2\mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3)$$
$$\mathbf{e}'_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(\mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_3)$$
$$\mathbf{e}'_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}(\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3).$$
Visa, att denna nya bas är ortonormerad.
Finn avbildningsmatrisen för $T$ i den nya basen.
Tolka avbildningen $T$ geometriskt.
(a) Basbytesmatrisen $$S=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt6}&\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt3}\\-\frac2{\sqrt6}&0&\frac1{\sqrt3}\\\frac1{\sqrt6}&-\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt3}\end{pmatrix}$$ är ortogonal, ty $SS^{\mathsf T}=I$. (b) Den nya avbildningsmatrisen är $$A'=S^{-1}AS=S^{\mathsf T}AS=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ (c) Avbildningen betyder projektion på $e'_2e'_3$-planet.
Talföljden $a_n$ definieras genom rekursionsformeln
$$a_n = \begin{cases}\frac{1}{2 - a_{n-1}} & \text{om } n \ge 1, \\ 0 & \text{om } n = 0.\end{cases}$$
Beräkna $a_0$, $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$.
Uppställ och bevisa, medelst induktion, en explicit formel för $a_n$.
(a) $$a_0=0,\qquad a_1=\frac12,\qquad a_2=\frac23,\qquad a_3=\frac34,\qquad a_4=\frac45.$$ (b) Formeln är $a_n=\frac{n}{n+1}$, vilken vi nu bevisar medelst induktion. (1) Formeln stämmer för $n=0$ enligt ovan. (2) Antag, att $a_n=\frac{n}{n+1}$ gäller för något $n$. (3) Vi skall visa, att då är ävenledes $a_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}$. (4) Med induktionsantagandet får vi $$a_{n+1}=\frac1{2-a_n}=\frac1{2-\frac{n}{n+1}}=\frac{n+1}{n+2}.$$ (5) Enligt Induktionsprincipen gäller formeln för alla $n$.
Undersök, för alla möjliga primtal $p$ och $q$, huruvida ekvationen
$$x^{3} + px = q$$
har några rationella rötter.
Enligt Rationella rotsatsen må en rationell rot $\frac ab$ (slutförkortad) uppfylla $a\mid q$ och $b\mid1$. Enda möjligheterna är $\frac ab=\pm1,\pm q$. Prövning av dessa ger $$x=-q:\ -q^3-pq=q\Longleftrightarrow q^2+p=-1,$$ $$x=q:\ q^3+pq=q\Longleftrightarrow q^2+p=1,$$ $$x=-1:\ -1-p=q,$$ $$x=1:\ 1+p=q.$$ De tre första ekvationerna är omöjliga för positiva heltal $p$ och $q$. Den fjärde ekvationen löses däremot av $p=2$ och $q=3$, men inga andra primtal. Tredjegradsekvationen saknar alltså rationella rötter, utom i fallet $x^3+2x=3$, då det existerar en rationell rot $x=1$.