Uppgift 6

Enligt Rationella rotsatsen må en rationell rot $\frac ab$ (slutförkortad) uppfylla $a\mid q$ och $b\mid1$. Enda möjligheterna är $\frac ab=\pm1,\pm q$. Prövning av dessa ger $$x=-q:\ -q^3-pq=q\Longleftrightarrow q^2+p=-1,$$ $$x=q:\ q^3+pq=q\Longleftrightarrow q^2+p=1,$$ $$x=-1:\ -1-p=q,$$ $$x=1:\ 1+p=q.$$ De tre första ekvationerna är omöjliga för positiva heltal $p$ och $q$. Den fjärde ekvationen löses däremot av $p=2$ och $q=3$, men inga andra primtal. Tredjegradsekvationen saknar alltså rationella rötter, utom i fallet $x^3+2x=3$, då det existerar en rationell rot $x=1$.