Hela algebra · 2016-01-15

Uppgift 3

Uppgift 3

Rymdrebellerna Lukas Molnpromenerare och Hans Ensamvarg färdas med sina rymdskepp längs linjerna

$$(x, y, z) = (1, 1, 0) + t(1, 2, 1) \qquad \text{respektive} \qquad (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(-1, -4, 1),$$

där $t$ betyder tiden.

(a)

Avgör, huruvida deras banor är sammanfallande, parallella, skeva eller skärande. Om de skär varandra, skall skärningspunkten anges.

(b)

I origo befinner sig Rymdimperiets ondskefulle kejsare Pampatine med sin kraftfulla dator Dödshjärnan. Han önskar förinta Lukas Molnpromenerare, då denne befinner sig som närmast origo på sin bana. Därför programmerar han Dödshjärnan att beräkna vid vilken tidpunkt detta inträffar, vilken den närmaste punkten är samt avståndet till denna punkt. Hjälp kejsar Pampatine att besvara dessa frågor.

Visa lösningDölj lösning

(a) Ekvationssystemet $$\begin{cases}1+s=1-t,\\1+2s=-4t,\\s=1+t\end{cases}$$ har den entydiga lösningen $s=\frac12$, $t=-\frac12$. Linjerna skär varandra därför i punkten $\left(\frac32,2,\frac12\right)$. (b) Vektorn $u=(1,1,0)$ går från origo till punkten $(1,1,0)$ på Lukas Molnpromenerares bana. Projektionen på linjens riktningsvektor är $$u'=\frac{(1,1,0)\cdot(1,2,1)}{|(1,2,1)|^2}(1,2,1)=\frac12(1,2,1).$$ Projektionen av $u$ på en vektor vinkelrät mot linjen är därför $$u-u'=\left(\frac12,0,-\frac12\right).$$ Punkten $\left(\frac12,0,-\frac12\right)$ på banan ligger närmast origo. Han passerar denna punkt vid tiden $t=-\frac12$. Avståndet från origo till denna punkt är $\frac1{\sqrt2}$. Alternativ lösning. Avståndet från en godtycklig punkt $(1+t,1+2t,t)$ på banan till origo är $$\sqrt{6\left(t+\frac12\right)^2+\frac12},$$ vilket antar sitt minsta värde $\frac1{\sqrt2}$ då $t=-\frac12$.