Hela algebra · 2016-01-15

Uppgift 4

Hela tentan

Uppgift 4

Låt $T$ vara den linjära avbildning, som i standardbasen har matrisen

$$A = \frac{1}{6}\begin{pmatrix}5 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 2 \\ -1 & 2 & 5\end{pmatrix}.$$

(a)

Inför en ny bas enligt

$$\mathbf{e}'_1 = \frac{1}{\sqrt{6}}(\mathbf{e}_1 - 2\mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3)$$

$$\mathbf{e}'_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(\mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_3)$$

$$\mathbf{e}'_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}(\mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3).$$

Visa, att denna nya bas är ortonormerad.

(b)

Finn avbildningsmatrisen för $T$ i den nya basen.

(c)

Tolka avbildningen $T$ geometriskt.

Visa lösningDölj lösning

(a) Basbytesmatrisen $$S=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt6}&\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt3}\\-\frac2{\sqrt6}&0&\frac1{\sqrt3}\\\frac1{\sqrt6}&-\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt3}\end{pmatrix}$$ är ortogonal, ty $SS^{\mathsf T}=I$. (b) Den nya avbildningsmatrisen är $$A'=S^{-1}AS=S^{\mathsf T}AS=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ (c) Avbildningen betyder projektion på $e'_2e'_3$-planet.