Hela algebra · 2016-01-15
Talföljden $a_n$ definieras genom rekursionsformeln
$$a_n = \begin{cases}\frac{1}{2 - a_{n-1}} & \text{om } n \ge 1, \\ 0 & \text{om } n = 0.\end{cases}$$
Beräkna $a_0$, $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$.
Uppställ och bevisa, medelst induktion, en explicit formel för $a_n$.
(a) $$a_0=0,\qquad a_1=\frac12,\qquad a_2=\frac23,\qquad a_3=\frac34,\qquad a_4=\frac45.$$ (b) Formeln är $a_n=\frac{n}{n+1}$, vilken vi nu bevisar medelst induktion. (1) Formeln stämmer för $n=0$ enligt ovan. (2) Antag, att $a_n=\frac{n}{n+1}$ gäller för något $n$. (3) Vi skall visa, att då är ävenledes $a_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}$. (4) Med induktionsantagandet får vi $$a_{n+1}=\frac1{2-a_n}=\frac1{2-\frac{n}{n+1}}=\frac{n+1}{n+2}.$$ (5) Enligt Induktionsprincipen gäller formeln för alla $n$.