Hela algebra · 2016-05-09
Betrakta de tre punkterna
$$P = (1, 1, 1), \qquad Q = (1, 1, 0) \qquad \text{och} \qquad R = (0, 0, 1).$$
Finn ekvationen för planet genom dessa punkter.
Beräkna arean av triangeln med hörn i dessa punkter.
Avgör, huruvida triangeln är rätvinklig. Motivera svaret.
(a) Vektorerna $\overrightarrow{QP}=(0,0,1)$ och $\overrightarrow{RP}=(1,1,0)$ är parallella med planet. En normalvektor till planet är $$\overrightarrow{QP}\times\overrightarrow{RP}=(0,0,1)\times(1,1,0)=(-1,1,0).$$ Ekvationen är därför på formen $-x+y=k$. Substitution av till exempel $P=(1,1,1)$ ger $k=0$, alltså är planets ekvation $-x+y=0$. (b) Triangelns area är $$\frac12|\overrightarrow{QP}\times\overrightarrow{RP}|=\frac12|(-1,1,0)|=\frac{\sqrt2}{2}.$$ (c) Vinkeln vid $P$ är rät, ty $$\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{RP}=(0,0,1)\cdot(1,1,0)=0.$$