Tenta 2016-05-09

(a) Totala antalet trerättersmenyer är $$14\cdot18\cdot8=2016.$$ (b) Elsa kan välja sina måltider på $$\binom{14}{3}\binom{18}{4}=1\,113\,840$$ sätt. (c) Det finns $\binom{13}{4}$ sätt att välja huvudrätter om hon helt utesluter vegetariska alternativ, och $\binom51\binom{13}{3}$ sätt om hon tar exakt en vegetarisk rätt. Inkluderande valet för förrätterna kan hon då totalt välja $$\binom{14}{3}\left(\binom{13}{4}+\binom51\binom{13}{3}\right)=364(715+5\cdot286)=780\,780$$ menyer.

(a) Vektorerna $\overrightarrow{QP}=(0,0,1)$ och $\overrightarrow{RP}=(1,1,0)$ är parallella med planet. En normalvektor till planet är $$\overrightarrow{QP}\times\overrightarrow{RP}=(0,0,1)\times(1,1,0)=(-1,1,0).$$ Ekvationen är därför på formen $-x+y=k$. Substitution av till exempel $P=(1,1,1)$ ger $k=0$, alltså är planets ekvation $-x+y=0$. (b) Triangelns area är $$\frac12|\overrightarrow{QP}\times\overrightarrow{RP}|=\frac12|(-1,1,0)|=\frac{\sqrt2}{2}.$$ (c) Vinkeln vid $P$ är rät, ty $$\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{RP}=(0,0,1)\cdot(1,1,0)=0.$$

(a) Insättning av rymdskeppets koordinater i Tentooines ekvation ger $$0=4(5+t)-11(5+t)-5(6+4t)+128=63-27t,$$ alltså $t=\frac73$. Rymdskeppet kraschar i punkten $$\left(\frac{22}{3},\frac{22}{3},\frac{46}{3}\right).$$ (b) Vinkeln $\theta$ mellan planetens normal och robotarnas bana ges av $$\cos\theta=\frac{(4,-11,-5)\cdot(1,1,4)}{|(4,-11,-5)|| (1,1,4)|}=\frac{-27}{\sqrt{162}\sqrt{18}}=-\frac12,$$ varför $\theta=120^\circ$. Detta är den trubbiga vinkeln; den spetsiga är $180^\circ-120^\circ=60^\circ$. Nedslagsvinkeln är därför $90^\circ-60^\circ=30^\circ$.

(a) Inför en ny positivt orienterad ON-bas. Låt $e'_3=\frac13(2,1,2)$ och ta sedan en vektor vinkelrät mot denna, av längden 1, till exempel $e'_1=\frac1{\sqrt2}(1,0,-1)$. Låt slutligen $$e'_2=e'_3\times e'_1=\frac1{3\sqrt2}(-1,4,-1).$$ I denna bas har $T$ matrisen $$A'=\begin{pmatrix}\cos45^\circ&-\sin45^\circ&0\\\sin45^\circ&\cos45^\circ&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt2}&0\\\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ Den ortogonala basbytesmatrisen är $$Q=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&-\frac1{3\sqrt2}&\frac23\\0&\frac4{3\sqrt2}&\frac13\\-\frac1{\sqrt2}&-\frac1{3\sqrt2}&\frac23\end{pmatrix},\qquad Q^{-1}=Q^{\mathsf T}.$$ Avbildningsmatrisen $A$ i standardbasen ges därför av $$A=QA'Q^{-1}=\frac19\begin{pmatrix}4+\frac5{\sqrt2}&2-\frac8{\sqrt2}&4-\frac1{\sqrt2}\\2+\frac4{\sqrt2}&1+\frac8{\sqrt2}&2-\frac8{\sqrt2}\\4-\frac7{\sqrt2}&2+\frac4{\sqrt2}&4+\frac5{\sqrt2}\end{pmatrix}.$$ (b) Inversen består i att rotera $45^\circ$ medurs kring samma axel.

(a) $$a_1=2,\qquad a_2=3,\qquad a_3=7,\qquad a_4=25,\qquad a_5=121.$$ (b) Formeln är $a_n=n!+1$, vilken bevisas med induktion som följer. (1) Formeln gäller för $n=0$, ty $a_0=2=0!+1$. (2) Antag, att $a_{n-1}=(n-1)!+1$ för något positivt heltal $n$. (3) Vi skall visa, att ävenledes $a_n=n!+1$. (4) Med induktionsantagandet $$a_n=na_{n-1}-n+1=n((n-1)!+1)-n+1=n!+n-n+1=n!+1.$$ (5) Enligt Induktionsprincipen gäller då formeln $a_n=n!+1$ för alla naturliga tal $n$.

Kvadrering ger $$1=(\sqrt{x+a}-\sqrt{x-a})^2=2x-2\sqrt{x^2-a^2},$$ alltså $$2x-1=2\sqrt{x^2-a^2}.$$ Därav $$4x^2-4x+1=(2x-1)^2=4(x^2-a^2)=4x^2-4a^2,$$ så den enda möjliga roten är $$x=a^2+\frac14.$$ Kontroll av denna: $$\sqrt{a^2+\frac14+a}-\sqrt{a^2+\frac14-a}=\left|a+\frac12\right|-\left|a-\frac12\right|.$$ Detta är $-1$ om $a<-\frac12$, $2a<1$ om $-\frac12\leq a<\frac12$, och $1$ om $\frac12\leq a$. Roten är alltså äkta precis när $a\geq\frac12$. Då $a<\frac12$ saknas reella lösningar.