Uppgift 4

(a) Inför en ny positivt orienterad ON-bas. Låt $e'_3=\frac13(2,1,2)$ och ta sedan en vektor vinkelrät mot denna, av längden 1, till exempel $e'_1=\frac1{\sqrt2}(1,0,-1)$. Låt slutligen $$e'_2=e'_3\times e'_1=\frac1{3\sqrt2}(-1,4,-1).$$ I denna bas har $T$ matrisen $$A'=\begin{pmatrix}\cos45^\circ&-\sin45^\circ&0\\\sin45^\circ&\cos45^\circ&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt2}&0\\\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ Den ortogonala basbytesmatrisen är $$Q=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&-\frac1{3\sqrt2}&\frac23\\0&\frac4{3\sqrt2}&\frac13\\-\frac1{\sqrt2}&-\frac1{3\sqrt2}&\frac23\end{pmatrix},\qquad Q^{-1}=Q^{\mathsf T}.$$ Avbildningsmatrisen $A$ i standardbasen ges därför av $$A=QA'Q^{-1}=\frac19\begin{pmatrix}4+\frac5{\sqrt2}&2-\frac8{\sqrt2}&4-\frac1{\sqrt2}\\2+\frac4{\sqrt2}&1+\frac8{\sqrt2}&2-\frac8{\sqrt2}\\4-\frac7{\sqrt2}&2+\frac4{\sqrt2}&4+\frac5{\sqrt2}\end{pmatrix}.$$ (b) Inversen består i att rotera $45^\circ$ medurs kring samma axel.