Uppgift 6

Kvadrering ger $$1=(\sqrt{x+a}-\sqrt{x-a})^2=2x-2\sqrt{x^2-a^2},$$ alltså $$2x-1=2\sqrt{x^2-a^2}.$$ Därav $$4x^2-4x+1=(2x-1)^2=4(x^2-a^2)=4x^2-4a^2,$$ så den enda möjliga roten är $$x=a^2+\frac14.$$ Kontroll av denna: $$\sqrt{a^2+\frac14+a}-\sqrt{a^2+\frac14-a}=\left|a+\frac12\right|-\left|a-\frac12\right|.$$ Detta är $-1$ om $a<-\frac12$, $2a<1$ om $-\frac12\leq a<\frac12$, och $1$ om $\frac12\leq a$. Roten är alltså äkta precis när $a\geq\frac12$. Då $a<\frac12$ saknas reella lösningar.