Hela algebra · 2016-05-09
Talföljden $a_n$ definieras genom rekursionsformeln
$$a_n = \begin{cases}na_{n-1} - n + 1 & \text{om } n \ge 1, \\ 2 & \text{om } n = 0.\end{cases}$$
Beräkna $a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$ och $a_5$.
Uppställ och bevisa en explicit formel för $a_n$ medelst induktion. (Jämför med $n!$.)
(a) $$a_1=2,\qquad a_2=3,\qquad a_3=7,\qquad a_4=25,\qquad a_5=121.$$ (b) Formeln är $a_n=n!+1$, vilken bevisas med induktion som följer. (1) Formeln gäller för $n=0$, ty $a_0=2=0!+1$. (2) Antag, att $a_{n-1}=(n-1)!+1$ för något positivt heltal $n$. (3) Vi skall visa, att ävenledes $a_n=n!+1$. (4) Med induktionsantagandet $$a_n=na_{n-1}-n+1=n((n-1)!+1)-n+1=n!+n-n+1=n!+1.$$ (5) Enligt Induktionsprincipen gäller då formeln $a_n=n!+1$ för alla naturliga tal $n$.