Hela algebra · 2016-06-07

Uppgift 3

Uppgift 3

Den ondsinte kejsar Pampatine har tillfångatagit prinsessan Laila. För att tvinga henne till lydnad och samtidigt imponera i största allmänhet, tänker han låta sin kraftfulla dator Dödshjärnan förinta hennes hemplanet Algebran med koordinaterna $(-1, 1, -3)$.

(a)

Kejsar Pampatine befinner sig i punkten $(3, -4, 5)$ och avfyrar sina dödsbringande kanoner längs linjen

$$(x, y, z) = (3, -4, 5) + t(-1, 1, -2), \qquad t \in \mathbb{R}.$$

Visa, att planeten Algebran överlever.

(b)

På vilket avstånd passerar kanonsalvan planeten Algebran?

(c)

Vilken linje borde kejsar Pampatine ha siktat längs, för att träva planeten Algebran?

Visa lösningDölj lösning

(a) Algebran ligger ej i skottlinjen, ty ekvationssystemet $$\begin{cases}-1=3-t,\\1=-4+t,\\-3=5-2t\end{cases}$$ saknar lösning. (b) Låt $P=(3,-4,5)$ vara kejsar Pampatines koordinater och $A=(-1,1,-3)$ vara planeten Algebrans. Projektionen av vektorn $\overrightarrow{PA}=(-4,5,-8)$ på skottlinjen är $$\operatorname{proj}_{(-1,1,-2)}\overrightarrow{PA}=\frac{(-4,5,-8)\cdot(-1,1,-2)}{|(-1,1,-2)|^2}(-1,1,-2)=\frac{25}{6}(-1,1,-2).$$ Kortaste avståndet mellan Algebran och skottlinjen är därför $$\overrightarrow{PA}-\operatorname{proj}_{(-1,1,-2)}\overrightarrow{PA}=(-4,5,-8)-\frac{25}{6}(-1,1,-2)=\frac16(1,5,2),$$ med längd $$\frac16\sqrt{30}.$$ (c) En ekvation för linjen genom $P$ och $A$ är exempelvis $$(x,y,z)=(3,-4,5)+t(-4,5,-8),\qquad t\in\mathbb R.$$