Tenta 2016-06-07

Dubbel kvadrering ger $$\sqrt{x}+\sqrt{x+1}=\frac32,$$ $$\frac94=\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)^2=2x+1+2\sqrt{x^2+x},$$ alltså $$\sqrt{x^2+x}=\frac58-x,$$ och efter en ny kvadrering $$x^2+x=\left(\frac58-x\right)^2=\frac{25}{64}-\frac54x+x^2.$$ Därför $$\frac94x=\frac{25}{64},$$ vilket ger $$x=\frac{25}{144}.$$ Vid kontroll av roten befinns denna vara äkta: $$\sqrt{\frac{25}{144}}+\sqrt{\frac{25}{144}+1}=\frac5{12}+\frac{13}{12}=\frac32.$$ Ekvationen har alltså lösningen $x=\frac{25}{144}$.

(a) Antalet ord är $$\frac{9!}{4!3!}=9\cdot8\cdot7\cdot5=2520.$$ (b) Det gäller att $$1001=|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=1000+|B|-999,$$ varav $|B|=1000$. (c) Polynomet har nollställena 2014, 2015 och 2016, och kan därför enligt Faktorsatsen skrivas $$p(x)=(x-2014)(x-2015)(x-2016),$$ så att $$p(2017)=3\cdot2\cdot1=6.$$

(a) Algebran ligger ej i skottlinjen, ty ekvationssystemet $$\begin{cases}-1=3-t,\\1=-4+t,\\-3=5-2t\end{cases}$$ saknar lösning. (b) Låt $P=(3,-4,5)$ vara kejsar Pampatines koordinater och $A=(-1,1,-3)$ vara planeten Algebrans. Projektionen av vektorn $\overrightarrow{PA}=(-4,5,-8)$ på skottlinjen är $$\operatorname{proj}_{(-1,1,-2)}\overrightarrow{PA}=\frac{(-4,5,-8)\cdot(-1,1,-2)}{|(-1,1,-2)|^2}(-1,1,-2)=\frac{25}{6}(-1,1,-2).$$ Kortaste avståndet mellan Algebran och skottlinjen är därför $$\overrightarrow{PA}-\operatorname{proj}_{(-1,1,-2)}\overrightarrow{PA}=(-4,5,-8)-\frac{25}{6}(-1,1,-2)=\frac16(1,5,2),$$ med längd $$\frac16\sqrt{30}.$$ (c) En ekvation för linjen genom $P$ och $A$ är exempelvis $$(x,y,z)=(3,-4,5)+t(-4,5,-8),\qquad t\in\mathbb R.$$

(a) Projektionen har matrisen $$P=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix},$$ och rotationen har matrisen $$R=\begin{pmatrix}\cos135^\circ&-\sin135^\circ&0\\\sin135^\circ&\cos135^\circ&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt2}&0\\\frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ Den sammansatta avbildningen har därför matrisen $$T=RP=\begin{pmatrix}-\frac1{\sqrt2}&0&0\\\frac1{\sqrt2}&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ (b) Bilden av $(1,1,2)$ är $$T\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac1{\sqrt2}\\\frac1{\sqrt2}\\2\end{pmatrix}.$$ (c) Rotationen $R$ är inverterbar, men inte projektionen $P$, och därför inte heller den sammansatta avbildningen $T=RP$. Man kan också kontrollera direkt, att $\det T=0$.

(a) $$a_1=1,\qquad a_2=\frac14,\qquad a_3=\frac19,\qquad a_4=\frac1{16}.$$ (b) Formeln är $a_n=\frac1{n^2}$, vilket bevisas med induktion som följer. (1) Formeln gäller för $n=1$, ty $a_1=1=\frac1{1^2}$. (2) Antag, att $a_n=\frac1{n^2}$ för något positivt heltal $n$. (3) Vi skall visa, att ävenledes $a_{n+1}=\frac1{(n+1)^2}$. (4) Med nyttjande av induktionsantagandet: $$a_{n+1}=\left(1-\frac1{1+\sqrt{a_n}}\right)^2=\left(1-\frac1{1+\frac1n}\right)^2=\left(1-\frac n{n+1}\right)^2=\frac1{(n+1)^2}.$$ (5) Enligt Induktionsprincipen gäller då formeln $a_n=\frac1{n^2}$ för alla positiva heltal $n$.

Av sambandet $w=-u-v$ följer det, att $$v\times w=v\times(-u-v)=v\times(-u)+v\times(-v)$$ $$=-v\times u-v\times v=-v\times u=u\times v,$$ där vi har använt den distributiva lagen, den homogena lagen, $v\times v=\mathbf0$ och den antikommutativa lagen. På samma sätt visas det, att $w\times u=u\times v$. Alternativ lösning. Om två av vektorerna $u,v,w$ är parallella, så måste de alla tre vara det. I så fall är alla angivna vektorprodukter nollvektorn. Antag nu att vektorerna inte är parallella. Den givna ekvationen betyder, att vektorerna $u,v,w$ kan bilda sidor i en triangel. Vektorprodukten $u\times v$ är då vinkelrät mot denna triangel. Dess längd är lika med triangelns dubbla area. Slutligen pekar den uppåt, förutsatt att man tänker sig vektorerna $u,v,w$ löpa triangeln runt moturs. (Rita figur!) Samma egenskap karakteriserar vektorerna $v\times w$ och $w\times u$, och de måste då alla tre sammanfalla.