Hela algebra · 2016-06-07
Talföljden $a_n$ definieras genom rekursionsformeln
$$a_n = \begin{cases}\left(1 + \sqrt{a_{n-1}}\right)^{2}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}}\right) & \text{om } n \ge 2, \\ 1 & \text{om } n = 1.\end{cases}$$
Beräkna $a_1$, $a_2$, $a_3$ och $a_4$.
Uppställ och bevisa en explicit formel för $a_n$ medelst induktion.
(a) $$a_1=1,\qquad a_2=\frac14,\qquad a_3=\frac19,\qquad a_4=\frac1{16}.$$ (b) Formeln är $a_n=\frac1{n^2}$, vilket bevisas med induktion som följer. (1) Formeln gäller för $n=1$, ty $a_1=1=\frac1{1^2}$. (2) Antag, att $a_n=\frac1{n^2}$ för något positivt heltal $n$. (3) Vi skall visa, att ävenledes $a_{n+1}=\frac1{(n+1)^2}$. (4) Med nyttjande av induktionsantagandet: $$a_{n+1}=\left(1-\frac1{1+\sqrt{a_n}}\right)^2=\left(1-\frac1{1+\frac1n}\right)^2=\left(1-\frac n{n+1}\right)^2=\frac1{(n+1)^2}.$$ (5) Enligt Induktionsprincipen gäller då formeln $a_n=\frac1{n^2}$ för alla positiva heltal $n$.