Hela algebra · 2016-06-07
Tre vektorer $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ och $\mathbf{w}$ i rummet uppfyller ekvationen
$$\mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w} = \mathbf{0}.$$
Visa, att
$$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{v} \times \mathbf{w} = \mathbf{w} \times \mathbf{u}.$$
Beviset skall vara noga motiverat.
Av sambandet $w=-u-v$ följer det, att $$v\times w=v\times(-u-v)=v\times(-u)+v\times(-v)$$ $$=-v\times u-v\times v=-v\times u=u\times v,$$ där vi har använt den distributiva lagen, den homogena lagen, $v\times v=\mathbf0$ och den antikommutativa lagen. På samma sätt visas det, att $w\times u=u\times v$. Alternativ lösning. Om två av vektorerna $u,v,w$ är parallella, så måste de alla tre vara det. I så fall är alla angivna vektorprodukter nollvektorn. Antag nu att vektorerna inte är parallella. Den givna ekvationen betyder, att vektorerna $u,v,w$ kan bilda sidor i en triangel. Vektorprodukten $u\times v$ är då vinkelrät mot denna triangel. Dess längd är lika med triangelns dubbla area. Slutligen pekar den uppåt, förutsatt att man tänker sig vektorerna $u,v,w$ löpa triangeln runt moturs. (Rita figur!) Samma egenskap karakteriserar vektorerna $v\times w$ och $w\times u$, och de måste då alla tre sammanfalla.