Uppgift 4

(a) Projektionen har matrisen $$P=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix},$$ och rotationen har matrisen $$R=\begin{pmatrix}\cos135^\circ&-\sin135^\circ&0\\\sin135^\circ&\cos135^\circ&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt2}&0\\\frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt2}&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ Den sammansatta avbildningen har därför matrisen $$T=RP=\begin{pmatrix}-\frac1{\sqrt2}&0&0\\\frac1{\sqrt2}&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$ (b) Bilden av $(1,1,2)$ är $$T\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac1{\sqrt2}\\\frac1{\sqrt2}\\2\end{pmatrix}.$$ (c) Rotationen $R$ är inverterbar, men inte projektionen $P$, och därför inte heller den sammansatta avbildningen $T=RP$. Man kan också kontrollera direkt, att $\det T=0$.