Hela algebra · 2016-08-12
Finn alla heltalslösningar till ekvationen $3x+4y=5$.
Givet är matriserna
$$ A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\3 & -4\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & -2\\-3 & 4\end{pmatrix}\qquad\text{och}\qquad C=\begin{pmatrix}4 & 3\\2 & 1\end{pmatrix}. $$
Finn alla matriser $X$, som uppfyller ekvationen
$$ XC=A+B^{\mathsf{T}}. $$
($B^{\mathsf{T}}$ betyder transponatet av $B$.)
(a) En lösning är $(x_0,y_0)=(-1,2)$. Samtliga lösningar är då på formen $$(x,y)=(-1,2)+n(4,-3)=(-1+4n,2-3n),\qquad n\in\mathbb Z.$$
(b) Ekvationens enda lösning är $$X=(A+B^{\mathsf T})C^{-1}=\left(\begin{pmatrix}-1&2\\3&-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&-3\\-2&4\end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}^{-1}$$ $$=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\frac12\begin{pmatrix}1&3\\-2&4\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}2&-4\\-1&3\end{pmatrix}.$$