MM2001 · Hela algebra
Betrakta mängderna
$$ A=\{1,3,5,7,9\}\qquad\text{och}\qquad B=\{6,7,8,9,10\}. $$
Ange följande (endast svar krävs):
$$ A\cup B,\qquad A\cap B,\qquad B\setminus A,\qquad \lvert A\rvert. $$
Utred för vilka värden på den reella konstanten $a$, som de tre vektorerna
$$ (1,a,a),\qquad (a,1,a)\qquad\text{och}\qquad (a,a,a) $$
ligger i samma plan.
(a) $A\cup B=\{1,3,5,6,7,8,9,10\}$, $A\cap B=\{7,9\}$, $B\setminus A=\{6,8,10\}$ och $|A|=5$.
(b) Vektorerna ligger i samma plan om och endast om determinanten $$\begin{vmatrix}1&a&a\\a&1&a\\a&a&a\end{vmatrix}=a+a^3-2a^2=a(a-1)^2$$ är noll, vilket inträffar precis då $a=0$ eller $a=1$.
Finn alla heltalslösningar till ekvationen $3x+4y=5$.
Givet är matriserna
$$ A=\begin{pmatrix}-1 & 2\\3 & -4\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1 & -2\\-3 & 4\end{pmatrix}\qquad\text{och}\qquad C=\begin{pmatrix}4 & 3\\2 & 1\end{pmatrix}. $$
Finn alla matriser $X$, som uppfyller ekvationen
$$ XC=A+B^{\mathsf{T}}. $$
($B^{\mathsf{T}}$ betyder transponatet av $B$.)
(a) En lösning är $(x_0,y_0)=(-1,2)$. Samtliga lösningar är då på formen $$(x,y)=(-1,2)+n(4,-3)=(-1+4n,2-3n),\qquad n\in\mathbb Z.$$
(b) Ekvationens enda lösning är $$X=(A+B^{\mathsf T})C^{-1}=\left(\begin{pmatrix}-1&2\\3&-4\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&-3\\-2&4\end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix}4&3\\2&1\end{pmatrix}^{-1}$$ $$=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\frac12\begin{pmatrix}1&3\\-2&4\end{pmatrix}=\frac12\begin{pmatrix}2&-4\\-1&3\end{pmatrix}.$$
Visa, att talet $2+i$ är en rot till fjärdegradsekvationen
$$ x^4-4x^3+2x^2+12x-15=0. $$
Lös ekvationen fullständigt.
(a) Vi ser att $$(x-2-i)(x-2+i)=(x-2)^2-i^2=x^2-4x+5.$$ Polynomdivision ger $$x^4-4x^3+2x^2+12x-15=(x^2-4x+5)(x^2-3),$$ så att polynomet har faktorn $x^2-4x+5$ och därför de båda nollställena $2\pm i$. (Ett alternativ är att direkt verifiera likheten $(2+i)^4-4(2+i)^3+2(2+i)^2+12(2+i)-15=0$.)
(b) De återstående två rötterna ges av $x^2-3=0$, det vill säga $x=\pm\sqrt3$. Ekvationens fyra rötter är således $2\pm i$ och $\pm\sqrt3$.
De tre rymdrebellerna Lukas Molnpromenerare, Hans Ensamvarg och prinsessan Laila färdas med sina rymdskepp längs de tre linjerna
$$ \begin{aligned} \ell&\colon (x,y,z)=(4,0,4)+t(-2,1,-2),\\ h&\colon (x,y,z)=(4,4,4)+t\left(-1,2,-\frac{1}{2}\right),\\ p&\colon (x,y,z)=(12,-12,8)+t(2,-4,1), \end{aligned} $$
där $t\in\mathbb{R}$ betyder tiden (som alltså kan vara negativ).
Avgör, hur de tre linjerna ligger i förhållande till varandra i rymden: om de är sammanfallande, parallella, skärande eller skeva.
Avgör, huruvida två rymdskepp någonsin möts i samma punkt, och ange i så fall var och när detta inträffar.
(a) Vi ser att $-2(-1,2,-\frac12)=(2,-4,1)$, så att linjerna $h$ och $p$ är parallella eller sammanfallande. För att undersöka vilketdera kan man till exempel pröva om punkten $(4,4,4)$ på $h$ även ligger på $l$: $$\begin{cases}4=12+2t,\\4=-12-4t,\\4=8+t,\end{cases}\qquad\Longleftrightarrow\qquad t=-4.$$ Linjerna sammanfaller alltså. Linjerna $l$ och $h=p$ har uppenbart icke-parallella riktningsvektorer, varför de är skärande eller skeva. De visar sig vara skeva, ty ekvationssystemet $$\begin{cases}4-2s=12+2t,\\s=-12-4t,\\4-2s=8+t\end{cases}$$ saknar lösning. Sammanfattningsvis färdas alltså Hans Ensamvarg och prinsessan Laila längs samma linje, medan Lukas Molnpromenerares bana är skev mot denna.
(b) Om två rymdrebeller någonsin skall mötas i samma punkt måste det vara Hans Ensamvarg och prinsessan Laila. Sätt deras ekvationer lika: $$\begin{cases}4-t=12+2t,\\4+2t=-12-4t,\\4-\frac12t=8+t,\end{cases}\qquad\Longleftrightarrow\qquad t=-\frac83.$$ Hans Ensamvarg och prinsessan Laila möts alltså vid tidpunkten $t=-\frac83$ i punkten $\left(\frac{20}{3},-\frac43,\frac{16}{3}\right)$.
Den linjära avbildningen $T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ har i standardbasen matrisen
$$ A=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} -4 & 0 & 3\\ 0 & 5 & 0\\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix}. $$
Visa, att följande bas är ortonormerad:
$$ \begin{aligned} \mathbf{e}'_1&=(0,1,0),\\ \mathbf{e}'_2&=\frac{1}{\sqrt{10}}(3,0,-1),\\ \mathbf{e}'_3&=\frac{1}{\sqrt{10}}(1,0,3). \end{aligned} $$
Finn avbildningsmatrisen för $T$ i denna bas.
Tolka avbildningen geometriskt.
(a) Basbytesmatrisen $$Q=\begin{pmatrix}0&\frac3{\sqrt{10}}&\frac1{\sqrt{10}}\\1&0&0\\0&-\frac1{\sqrt{10}}&\frac3{\sqrt{10}}\end{pmatrix}$$ är ortogonal, ty $$QQ^{\mathsf T}=E.$$
(b) Avbildningsmatrisen i den nya basen är $$A'=Q^{-1}AQ=Q^{\mathsf T}AQ=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
(c) Avbildningen betyder spegling i $e'_1e'_3$-planet, alltså planet med normalvektor $(3,0,-1)$ i standardkoordinater.
De komplexa talen $z$ och $p$ är sådana, att $z$ är rent imaginärt (på formen $ci$, där $c\in\mathbb{R}$) och $z\ne p$. Visa, att
$$ \lvert\frac{z-p}{z+p}\rvert=1. $$
Ansätt $z=ci$ och $p=a+bi$, där $a,b,c\in\mathbb R$. Då fås $$\left|\frac{z-p}{z+\overline p}\right|=\left|\frac{ci-(a+bi)}{ci+(a-bi)}\right|=\left|\frac{-a-(b-c)i}{a-(b-c)i}\right|=\frac{\sqrt{a^2+(b-c)^2}}{\sqrt{a^2+(b-c)^2}}=1.$$
Alternativ lösning. Eftersom $z$ är rent imaginärt gäller det att $\overline z=-z$, varav följer att $$|z+\overline p|=|\overline z+p|=|-z+p|=|z-p|,$$ vilket är ekvivalent med det givna påståendet, förutsatt att $z\ne p$.
Alternativ lösning. Ekvationen är, förutsatt att $z\ne p$, ekvivalent med $$|z-p|=|z+\overline p|.$$ Alldenstund $z$ ligger på imaginära axeln har detta tal samma avstånd till de båda talen $p$ och $-\overline p$, vilka ju är varandras spegelbilder i imaginära axeln. Detta är ekvationens geometriska tolkning.