Uppgift 6
De komplexa talen $z$ och $p$ är sådana, att $z$ är rent imaginärt (på formen $ci$, där $c\in\mathbb{R}$) och $z\ne p$. Visa, att
$$ \lvert\frac{z-p}{z+p}\rvert=1. $$
Hela algebra · 2016-08-12
Uppgift 6
Visa lösningDölj lösning
Ansätt $z=ci$ och $p=a+bi$, där $a,b,c\in\mathbb R$. Då fås $$\left|\frac{z-p}{z+\overline p}\right|=\left|\frac{ci-(a+bi)}{ci+(a-bi)}\right|=\left|\frac{-a-(b-c)i}{a-(b-c)i}\right|=\frac{\sqrt{a^2+(b-c)^2}}{\sqrt{a^2+(b-c)^2}}=1.$$
Alternativ lösning. Eftersom $z$ är rent imaginärt gäller det att $\overline z=-z$, varav följer att $$|z+\overline p|=|\overline z+p|=|-z+p|=|z-p|,$$ vilket är ekvivalent med det givna påståendet, förutsatt att $z\ne p$.
Alternativ lösning. Ekvationen är, förutsatt att $z\ne p$, ekvivalent med $$|z-p|=|z+\overline p|.$$ Alldenstund $z$ ligger på imaginära axeln har detta tal samma avstånd till de båda talen $p$ och $-\overline p$, vilka ju är varandras spegelbilder i imaginära axeln. Detta är ekvationens geometriska tolkning.