Uppgift 3

(a) Vi ser att $$(x-2-i)(x-2+i)=(x-2)^2-i^2=x^2-4x+5.$$ Polynomdivision ger $$x^4-4x^3+2x^2+12x-15=(x^2-4x+5)(x^2-3),$$ så att polynomet har faktorn $x^2-4x+5$ och därför de båda nollställena $2\pm i$. (Ett alternativ är att direkt verifiera likheten $(2+i)^4-4(2+i)^3+2(2+i)^2+12(2+i)-15=0$.)

(b) De återstående två rötterna ges av $x^2-3=0$, det vill säga $x=\pm\sqrt3$. Ekvationens fyra rötter är således $2\pm i$ och $\pm\sqrt3$.