Hela algebra · 2016-08-12

Uppgift 4

Uppgift 4

De tre rymdrebellerna Lukas Molnpromenerare, Hans Ensamvarg och prinsessan Laila färdas med sina rymdskepp längs de tre linjerna

$$ \begin{aligned} \ell&\colon (x,y,z)=(4,0,4)+t(-2,1,-2),\\ h&\colon (x,y,z)=(4,4,4)+t\left(-1,2,-\frac{1}{2}\right),\\ p&\colon (x,y,z)=(12,-12,8)+t(2,-4,1), \end{aligned} $$

där $t\in\mathbb{R}$ betyder tiden (som alltså kan vara negativ).

(a)

Avgör, hur de tre linjerna ligger i förhållande till varandra i rymden: om de är sammanfallande, parallella, skärande eller skeva.

(b)

Avgör, huruvida två rymdskepp någonsin möts i samma punkt, och ange i så fall var och när detta inträffar.

Visa lösningDölj lösning

(a) Vi ser att $-2(-1,2,-\frac12)=(2,-4,1)$, så att linjerna $h$ och $p$ är parallella eller sammanfallande. För att undersöka vilketdera kan man till exempel pröva om punkten $(4,4,4)$ på $h$ även ligger på $l$: $$\begin{cases}4=12+2t,\\4=-12-4t,\\4=8+t,\end{cases}\qquad\Longleftrightarrow\qquad t=-4.$$ Linjerna sammanfaller alltså. Linjerna $l$ och $h=p$ har uppenbart icke-parallella riktningsvektorer, varför de är skärande eller skeva. De visar sig vara skeva, ty ekvationssystemet $$\begin{cases}4-2s=12+2t,\\s=-12-4t,\\4-2s=8+t\end{cases}$$ saknar lösning. Sammanfattningsvis färdas alltså Hans Ensamvarg och prinsessan Laila längs samma linje, medan Lukas Molnpromenerares bana är skev mot denna.

(b) Om två rymdrebeller någonsin skall mötas i samma punkt måste det vara Hans Ensamvarg och prinsessan Laila. Sätt deras ekvationer lika: $$\begin{cases}4-t=12+2t,\\4+2t=-12-4t,\\4-\frac12t=8+t,\end{cases}\qquad\Longleftrightarrow\qquad t=-\frac83.$$ Hans Ensamvarg och prinsessan Laila möts alltså vid tidpunkten $t=-\frac83$ i punkten $\left(\frac{20}{3},-\frac43,\frac{16}{3}\right)$.