Hela algebra · 2016-08-12

Uppgift 5

Uppgift 5

Den linjära avbildningen $T\colon\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ har i standardbasen matrisen

$$ A=\frac{1}{5}\begin{pmatrix} -4 & 0 & 3\\ 0 & 5 & 0\\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix}. $$

(a)

Visa, att följande bas är ortonormerad:

$$ \begin{aligned} \mathbf{e}'_1&=(0,1,0),\\ \mathbf{e}'_2&=\frac{1}{\sqrt{10}}(3,0,-1),\\ \mathbf{e}'_3&=\frac{1}{\sqrt{10}}(1,0,3). \end{aligned} $$

(b)

Finn avbildningsmatrisen för $T$ i denna bas.

(c)

Tolka avbildningen geometriskt.

Visa lösningDölj lösning

(a) Basbytesmatrisen $$Q=\begin{pmatrix}0&\frac3{\sqrt{10}}&\frac1{\sqrt{10}}\\1&0&0\\0&-\frac1{\sqrt{10}}&\frac3{\sqrt{10}}\end{pmatrix}$$ är ortogonal, ty $$QQ^{\mathsf T}=E.$$

(b) Avbildningsmatrisen i den nya basen är $$A'=Q^{-1}AQ=Q^{\mathsf T}AQ=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$