Hela algebra · 2016-12-07
Beräkna det komplexa talet
$$\left(\frac{8 + 12i}{5 + i}\right)^{6}$$
på dels rektangulär, dels polär form.
Avgör, huruvida talet $22^{55} + 55^{22}$ är delbart med $7$.
Finn alla reella lösningar till ekvationen $\lvert x + 1\rvert = x + 2$.
(a) Uträkning ger $$\left(\frac{8+12i}{5+i}\right)^6=(2+2i)^6=2^6(1+i)^6=64(2i)^3=64(-8i)=-512i=512e^{\frac{3\pi}{2}i},$$ där $-512i$ är rektangulära formen och $512e^{\frac{3\pi}{2}i}$ den polära.
(b) Talet är ej delbart med $7$, ty $$22^{55}+55^{22}\equiv1^{55}+(-1)^{22}=2\pmod7.$$
(c) Om $x<-1$, blir ekvationen $-x-1=x+2$ med lösningen $x=-\frac32$. Detta är en äkta rot, ty $-\frac32<-1$. Om $x\ge-1$, blir ekvationen $x+1=x+2$, som saknar lösning. Enda lösningen är alltså $x=-\frac32$.