MM2001 · Hela algebra
Beräkna det komplexa talet
$$\left(\frac{8 + 12i}{5 + i}\right)^{6}$$
på dels rektangulär, dels polär form.
Avgör, huruvida talet $22^{55} + 55^{22}$ är delbart med $7$.
Finn alla reella lösningar till ekvationen $\lvert x + 1\rvert = x + 2$.
(a) Uträkning ger $$\left(\frac{8+12i}{5+i}\right)^6=(2+2i)^6=2^6(1+i)^6=64(2i)^3=64(-8i)=-512i=512e^{\frac{3\pi}{2}i},$$ där $-512i$ är rektangulära formen och $512e^{\frac{3\pi}{2}i}$ den polära.
(b) Talet är ej delbart med $7$, ty $$22^{55}+55^{22}\equiv1^{55}+(-1)^{22}=2\pmod7.$$
(c) Om $x<-1$, blir ekvationen $-x-1=x+2$ med lösningen $x=-\frac32$. Detta är en äkta rot, ty $-\frac32<-1$. Om $x\ge-1$, blir ekvationen $x+1=x+2$, som saknar lösning. Enda lösningen är alltså $x=-\frac32$.
Betrakta de tre mängderna
$$A = \{1, 2, 3\}, \qquad B = \{3, 4, 5\} \qquad \text{och} \qquad C = \{1, 3, 5\}.$$
Rita ett Venn-diagram för mängderna, där talen $1, \dots, 5, 6$ är korrekt utplacerade.
Ange elementen i mängderna
$$A \cup (B \cap C) \qquad \text{och} \qquad (B \cup C) \setminus A.$$
(samma mängder som ovan).
Ange alla reella fjärdegradspolynom, som har nollställena $1$ och $i$.
(a) —
(b) Vi har $B\cap C=\{3,5\}$ och $B\cup C=\{1,3,4,5\}$ och därför $$A\cup(B\cap C)=\{1,2,3,5\}\qquad\text{och}\qquad(B\cup C)\setminus A=\{4,5\}.$$
(c) Polynomet har nollställena $1$ och $i$, och måste även ha nollstället $-i$ (Konjugerade rotsatsen). Låt $b$ beteckna det fjärde nollstället. Detta måste vara reellt, eftersom dess konjugat annars också vore ett nollställe. Enligt Faktorsatsen är polynomet på formen $$p(x)=a(x-1)(x-b)(x-i)(x+i)=a(x-1)(x-b)(x^2+1).$$ Det är tydligt att $a e0$ måste vara reellt för att $p(x)$ skall få reella koefficienter. Omvänt är det uppenbart att ett fjärdegradspolynom på ovanstående form uppfyller de givna villkoren, då $a e0$ och $b$ är reella.
Rymdrebellen prinsessan Laila är ute i strid. Hennes rymdskepp ligger i koordinaterna $(-2, 4, 5)$. Rymdimperiets ondskefulle kejsar Pampatine befinner sig ombord på sin stjärnkryssare, som ligger i planet $x + 2y + 3z = 6$. Bestäm den punkt i stjärnkryssarens plan, som ligger närmast prinsessan Laila.
Prinsessan Laila avfyrar en projektil längs linjen
$$(x, y, z) = (-2, 4, 5) + t(2, -1, -1).$$
Avgör, huruvida hon trävar stjärnkryssaren, som har formen av en triangel, bestämd av ekvationerna
$$x + 2y + 3z = 6, \qquad x, y \ge -1, \qquad x + 7y \le 1.$$
(a) Tag punkten $P=(6,0,0)$ i planet och låt $L=(-2,4,5)$ vara Lailas koordinater. Projektionen av vektorn $\overrightarrow{LP}=(8,-4,-5)$ på planets normalvektor $(1,2,3)$ ges av projektionsformeln: $$\operatorname{proj}_{(1,2,3)}(8,-4,-5)=\frac{(8,-4,-5)\cdot(1,2,3)}{|(1,2,3)|^2}(1,2,3)=-\frac{15}{14}(1,2,3).$$ Närmaste punkten i planet är då $$(-2,4,5)-\frac{15}{14}(1,2,3)=\frac1{14}(-43,26,25).$$
(b) Vi finner först i vilken punkt projektilen träffar stjärnkryssarens plan: $$6=(-2+2t)+2(4-t)+3(5-t)=21-3t\Longleftrightarrow t=5.$$ Projektilen passerar då planet $x+2y+3z=6$ vid tiden $t=5$ i punkten $(x_0,y_0,z_0)=(8,-1,0)$. Det är klart att denna punkt uppfyller olikheterna som definierar stjärnkryssaren, ty $x_0,y_0\ge-1$ och $x_0+7y_0=1$. Prinsessan Laila kommer alltså att träffa stjärnkryssaren, precis i hörnet.
I en skål ligger $2016$ karameller. Två av dem är identiska (jordgubbspolkagris med banansmak), men övriga representerar $2014$ olika smaker. Elsa vill plocka sig en grabbnäve av $116$ karameller att mumsa på (Elsa har stora händer).
På hur många sätt kan hon välja sina karameller, om de skall ha olika smaker (ordningen är oväsentlig)?
Hur många sätt finns det, om karamellerna ej behöver ha olika smaker?
Hur många åttabokstaviga “ord” kan bildas genom omkastning av bokstäverna KARAMELL?
Svaren skall förenklas så långt möjligt, men får dock innehålla outräknade fakulteter, om så bedöms lämpligt.
(a) Problemet innebär valet av $116$ karameller av $2015$ möjliga (dubbletten av jordgubbspolkagrisen bortses ifrån), vilket kan göras på $$\binom{2015}{116}=\frac{2015!}{116!1899!}$$ sätt.
(b) Svaret i (a) räknar urvalen innehållande högst en jordgubbspolkagris. Till detta adderar vi de urval där båda polkagrisarna väljes. Då skall $114$ karameller av de övriga $2014$ väljas, vilket ger svaret $$\binom{2015}{116}+\binom{2014}{114}=\frac{2015!}{116!1899!}+\frac{2014!}{114!1900!}.$$
(c) Enligt känd formel för arrangemang är svaret $$\frac{8!}{2!2!}=10\,080.$$
Finn matrisen för avbildningen, som består i att först spegla i planet $x + y = 0$ och sedan rotera $45^\circ$ medurs kring $y$-axeln.
Rodrigues’ rotationsformel:
$$R(\mathbf{v}) = (\cos \theta)\mathbf{v} + (\sin \theta)(\mathbf{k} \times \mathbf{v}) + (1 - \cos \theta)(\mathbf{k} \cdot \mathbf{v})\mathbf{k}.$$
Projektionen av vektorn $u=(x,y,z)$ på planets normal $(1,1,0)$ ges av projektionsformeln: $$u'=\frac{(x,y,z)\cdot(1,1,0)}{|(1,1,0)|^2}(1,1,0)=\frac{x+y}{2}(1,1,0).$$ Spegelbilden av $u$ i planet är $$u-2u'=(x,y,z)-(x+y,x+y,0)=(-y,-x,z),$$ varur speglingsmatrisen avläses till $$S=\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
En godtycklig vektor $(x,y,z)$ roteras enligt Rodrigues rotationsformel till $$R(x,y,z)=\cos(-45^\circ)(x,y,z)+\sin(-45^\circ)((0,1,0)\times(x,y,z))+(1-\cos(-45^\circ))((0,1,0)\cdot(x,y,z))(0,1,0)$$ $$=\frac1{\sqrt2}(x,y,z)-\frac1{\sqrt2}(z,0,-x)+\left(1-\frac1{\sqrt2}\right)y(0,1,0)=\left(\frac{x-z}{\sqrt2},y,\frac{x+z}{\sqrt2}\right),$$ så att rotationsmatrisen är $$R=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&0&-\frac1{\sqrt2}\\0&1&0\\\frac1{\sqrt2}&0&\frac1{\sqrt2}\end{pmatrix}.$$ Den sökta avbildningsmatrisen är produkten av dessa: $$RS=\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt2}&0&-\frac1{\sqrt2}\\0&1&0\\\frac1{\sqrt2}&0&\frac1{\sqrt2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1&0\\-1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-\frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt2}\\-1&0&0\\0&-\frac1{\sqrt2}&\frac1{\sqrt2}\end{pmatrix}.$$
Utred, för vilka värden på de reella konstanterna $a$ och $b$, som de tre vektorerna
$$(a, b, b), \qquad (b, a, b) \qquad \text{och} \qquad (b, b, a)$$
är linjärt beroende.
Vektorerna är linjärt beroende precis då deras determinant försvinner. Det ger ekvationen $$0=\begin{vmatrix}a&b&b\\b&a&b\\b&b&a\end{vmatrix}=a^3+2b^3-3ab^2,$$ med rötterna $a=b$ eller $a=-2b$. Detta kan inses på flera sätt.
En metod är att leka litet med ekvationen: $$0=a^3+2b^3-3ab^2=a^3-ab^2+2b^3-2ab^2$$ $$=a(a+b)(a-b)+2b^2(b-a)=(a-b)(a(a+b)-2b^2)$$ $$=(a-b)(a^2-b^2+ab-b^2)=(a-b)((a+b)(a-b)+b(a-b))$$ $$=(a-b)^2(a+2b).$$ Vi avläser rötterna till $a=b$ och $a=-2b$.
En annan metod är att först observera att $a=b$ löser ekvationen. Då skall enligt Faktorsatsen $a-b$ vara en faktor. Polynomdivision ger $$0=a^3+2b^3-3ab^2=(a-b)(a^2+ab-2b^2).$$ Ånyo är $a=b$ en lösning till $a^2+ab-2b^2=0$, så att $a-b$ även här är en faktor. Ännu en polynomdivision ger då $$0=a^3+2b^3-3ab^2=(a-b)^2(a+2b),$$ och vi avläser rötterna $a=b$ och $a=-2b$. (Ekvationen $a^2+ab-2b^2=0$ kan också lösas som en vanlig andragradsekvation.)
En tredje metod är att beräkna determinanten, inte med Sarrus regel utan genom Gausselimination följd av Laplaceutveckling. Efter radoperationen rad 3 minus rad 2 och utveckling efter rad 3 fås $$0=(a-b)\begin{vmatrix}a&b\\b&b\end{vmatrix}+(a-b)\begin{vmatrix}a&b\\b&a\end{vmatrix}=(a-b)(ab-b^2)+(a-b)(a^2-b^2)$$ $$=(a-b)^2b+(a-b)^2(a+b)=(a-b)^2(a+2b).$$ Vektorerna är sålunda linjärt beroende precis då $a=b$ eller $a=-2b$.